《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.18二次函数综合之定点问题

3.0 envi 2025-04-24 4 4 1.97MB 13 页 3知币

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二次函数过定点问题

【经典例题 1】二次函数 y=ax2+bx+1 的图象必经过点______.

【解析】当 x=0 时，y=ax2+bx+1=1，

所以二次函数 y=ax2+bx+1 的图象必经过点(0，1).

故答案为(0，1).

练习 1-1 某二次函数 y=ax2+(a+c)x+c必过定点___.

【解析】y=ax2+(a+c)x+c=(ax+c)(x+1)，

由此可得当 x=−1时，y=0，且与 a、c取值无关。

故二次函数所过定点为(−1，0).

练习 1-2 无论 m为任何实数，二次函数 y=x2+(2−m)x+m的图象总过的点是( )

A. (1，3) B. (1，0) C. (−1，3) D. (−1，0)

【解析】原式可化为 y=x2+2x−mx+m=x2+2x+m(1−x)，

二次函数的图象总过该点，即该点坐标与 m的值无关，

于是 1−x=0，解得 x=1，

此时 y的值为 y=1+2=3，图象总过的点是(1，3).

练习 1-3 在直角坐标系中，不论 a取何值，抛物线 y=−x2+x+2a−2经过

x轴上一定点 Q，直线 y=(a−2)x+2 经过点 Q.求抛物线的解析式。

【解析】∵不论 a取何值，抛物线 y=−x2+x+2a−2经过 x轴上一定点

Q，

∴当 a=0，则 y=−x2+x−2，当 a=1 时y=−x2+2x，

令y=0，则−x2+x−2；−x2+2x=0

解得 x=4，

∴Q(4，0)，

∵直线 y=(a−2)x+2 经过点 Q.

∴0=(a−2)×4+2，

解得 a=，

∴抛物线的解析式为 y=−x2+x+1.

练习 1-4 已知抛物线 y=mx2+(1−2m)x+1−3m与x轴相交于不同的两点 A. B

(1)求m的取值范围；

(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P的坐标；

【解析】(1)当m=0 时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；

当m≠0时，

∵抛物线 y=mx2+(1−2m)x+1−3m与x轴相交于不同的两点 A. B，

∴△=(1−2m)2−4×m×(1−3m)=(1−4m)2>0，

∴1−4m≠0，

∴m≠ ；

(2)证明：∵抛物线 y=mx2+(1−2m)x+1−3m，

∴y=m(x2−2x−3)+x+1，

抛物线过定点说明在这一点 y与m无关，

显然当 x2−2x−3=0 时，y与m无关，

解得：x=3 或x=−1，

当x=3 时，y=4，定点坐标为(3，4)；

当x=−1时，y=0，定点坐标为(−1，0)，

∵P不在坐标轴上，

∴P(3，4)；

练习 1-5 对于二次函数 y=x2−3x+2 和一次函数 y=−2x+4，把函数

y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)(t 为常数)称为这两个函数的“衍生二次函数”。已

知不论 t取何常数，这个函数永远经过某些定点，则这个函数必经过的定点坐

标为___.

【解析】y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)，=t(x2−3x+2)+t(2x−4)+

(−2x+4)，=t(x2−x−2)+(−2x+4)，

令x2−x−2=0 则函数图象经过的点与 t值无关，

解方程得，x1=−1，x2=2，

当x=−1时，y=6，

当x=2 时，y=0，

所以，这个函数必经过的定点坐标为(−1，6)，(2，0).

故答案为：(−1，6)，(2，0).

【经典例题 2】已知二次函数的顶点坐标为(−，−)，与 y轴的交点

为(0，n−m)，其顶点恰好在直线 y=x+ (1−m)上(其中 m、n为正数).

(1)求证：此二次函数的图象与 x轴有 2个交点；

(2)在x轴上是否存在这样的定点：不论 m、n如何变化，二次函数的图象总通

过此定点?若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由。

【解析】(1)证明：把(−，−)代入 y=x+ (1−m)得−+

(1−m)=−，

整理得 m2−mn+m−n=0，

∵(m−n)(m+1)=0，

∴m=n 或m=−1(舍去)，

∴二次函数的顶点坐标为(−，−)，与 y轴的交点为(0，0)，

∵m为正数，

∴二次函数的顶点在第四象限，

而抛物线过原点，

∴抛物线开口向上，

∴此二次函数的图象与 x轴有 2个交点；

(2)存在。

∵抛物线的对称轴为直线 x=−，抛物线与 x轴的一个交点坐标为(0，0)，

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