《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.15二次函数之胡不归问题

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二次函数与胡不归问题
题型特点：①PA+k•PB 型线段和最小值(k=、 、 、 或其它)
②动点在直线上以不同的速度运动、
解题方法：利用锐角三角函数或三角形相似转化线段长
【经典例题 1——k=】如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c
的图象经过点 A(−1，0)，B(4，0)、C(0，)，其中对称轴与 x轴交于点 E.
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图 1，若 P为y轴上的一个动点，连接 PE，求 PC+PE 的最小值；
【解析】(1)将A，B，C的坐标代入函数解析式，得
a−b+c=0；16a+4b+c=0；c=，
解得 a=− ；b=；c=，
此二次函数的表达式 y=− x2+x+，
(2)如图 1中，连接 AB，作 DH AB⊥于H，交 OB 于P，
此时 PC+PE 最小。
1
理由：∵OA=1，OC= ，
∴tan ACO=OA/OC=∠，∴∠ACO=30°，
∴PH= PC，
∴PC+PE=PH+EP=EH，
∴此时 PC+PE 最短(垂线段最短).
A. B 关于 E点对称，得 E点坐标为(，0)
在RT ADH△中，∵∠AHE=90°，AE= −(−1)= ，∠HAE=60°，
∴sin60°=HE/AE，
∴HE=AE sin60°=⋅× =
∴PC+PE 的最小值为 .
【经典例题变式】在平面直角坐标系中，抛物线 y=−x2+bx+c经过点 A，B，C，
已知 A(−1，0)，C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 1，P为线段 BC 上一动点，过点 P作y轴的平行线，交抛物线于点 D，
是否存在这样的 P点，使线段 PD 的长有最大值?若存在，求出这个最大值；若
不存在，请说明理由；
(3) 如 图 2，抛物线的顶点为 E，EF⊥x轴于点 F，N是直线 EF 上一动点，
2
M(m，0)是x轴一个动点，请直接写出 CN+MN+ MB 的最小值以及此时点
M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由。
【解析】(1)y=−x2+bx+c经过点 C，则 c=3，
将点 A的坐标代入抛物线表达式：y=−x2+bx+3 并解得：b=2，
抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)存在，理由：
令y=0，则 x=−1 或3，故点 B(3，0)，
将点 B. C 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 BC 的表达式为：y=−x+3，
设点 D(x，−x2+2x+3)，则点 P(x，−x+3)，
则PD=(−x2+2x+3)−(−x+3)=−x2+3x，
当x=时，PD 最大值为： ；
(3)过点 B作倾斜角为 30°的直线 BH，过点 C作CH BH⊥交于点 H，CH 交对称
轴于点 N，交 x轴于点 M，则点 M、N为所求，
直线 BH 表达式中的 k值为 ，则直线 CH 的表达式为：y=− x+3，
3
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