《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.14二次函数综合之新定义、探究问题

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新定义探究问题

类型一：新定义类问题

【经典例题 1】阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴

或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点 M（1，3）的

特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B在第一象限，

A、C分别在 x轴和 y轴上，抛物线经过 B、C两点，顶点 D在正

方形内部．

（1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线；

（2）若点 D有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式；

（3）点 P是AB 边上除点 A外的任意一点，连接 OP，将△OAP 沿着 OP 折叠，点

A落在点 A′的位置，当点 A′在平行于坐标轴的 D点的特征线上时，满足（2）中条

件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在 OP 上？

【解析】(1)∵点D(m，n)，

∴点 D(m，n)的特征线是 x=m，y=n，y=x+n−m，y=−x+m+n；

(2)点D有一条特征线是 y=x+1，

∴n−m=1，

∵抛物线解析式为 y= (x−m)2+n，

∴y= (x−m)2+m+1，

∵四边形 OABC 是正方形，且 D点为正方形的对称轴，D(m，n)，

∴B(2m，2m)，

∴(2m−m)2+n=2m，将 n=m+1 带入得到 m=2，n=3；

∴D(2，3)，

∴抛物线解析式为 y= (x−2)2+3

(3)如图，当点 A′在平行于 y轴的 D点的特征线时，

根据题意可得，D(2，3)，

∴OA′=OA=4，OM=2，

∴∠A′OM=60∘，

∴∠A′OP= AOP=30∠ ∘，

∴MN= = ，

∴抛物线需要向下平移的距离=3− = .

如图，当点 A′在平行于 x轴的 D点的特征线时，设 A′(p，3)，

则OA′=OA=4，OE=3，EA′= ，

∴A′F=4− ，

设P(4，c)(c>0)，

，在 Rt A′FP△中，(4− )2+(3−c)2=c2，

∴c= ，

∴P(4，)

∴直线 OP 解析式为 y= x，

∴N(2，)，

∴抛物线需要向下平移的距离=3− = ，

即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在 OP 上。

练习 1-1 在平面直角坐标系 xoy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点 P(x，m)是图形

G1 上的任意一点，点 Q(x，n)是图形 G2 上的任意一点，若存在直线 l：

y=kx+b(k≠0)满足 m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线 l：y=kx+b(k≠0)是图形 G1 与G2

的“隔离直线”，如图 1，直线 l：y=-x-2 是函数

)0(

4 x

的图像与正方形 OABC

的一条“隔离直线”.

（1）在直线① y1=-x-1，② y2=3x+1，③ y3=-x+4，④ y4=-2x中，是图 1函数

的图像与正方形 OABC 的“隔离直线”的为 .

（2）如图，第一象限的等腰直角三角形 EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶

点D的坐标是(2，1)，⊙O的半径为，是否存在△EDF 与⊙O的“隔离直线”？

若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；

（3）正方形 A1B1C1D1 的一边在 y轴上，其它三边都在 y轴的左侧，点 M(-1，t)

是此正方形的中心，若存在直线 y=-2x+b是函数 y=x2+2x-3(-4≤x≤0)的图像与正方

形A1B1C1D1 的“隔离直线”，请直接写出 t的取值范围.

练习 1-2 已知：抛物线 C1:y=−(x+m)2+m2(m>0)，抛物线 C2:y=(x−n)2+n2(n>0)，称抛

物线 C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线 C1:y=−(x+1)2+1 与抛物线 C2:y=(x−

)2+2 是派对抛物线，已知派对抛物线 C1，C2的顶点分别为 A，B，抛物线 C1的对称

轴交抛物线 C2于C，抛物线 C2的对称轴交抛物线 C1与D.

(1)已知抛物线① y=−x2−2x，② y=(x−3)2+3，③ y=(x−

)2+2，④ y=x2−x+

，则抛

物线①②③④中互为派对抛物线的是 (请在横线上填写抛物线的数字序号)；

(2)如图 1，当 m=1，n=2 时，证明 AC=BD；

(3)如图 2，连接 AB，CD 交于点 F，延长 BA 交x轴的负半轴于点 E，记 BD 交x轴

于G，CD 交x轴于点 H，∠BEO= BDC.∠

①求证：四边形 ACBD 是菱形；②若已知抛物线 C2:y=(x−2)2+4，请求出 m的值。

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