《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.13.2二次函数综合之最大角、其它问题
二次函数角度问题
（最大角、其它角度）
【经典例题 1——最大角隐形圆】如图，O是坐标原点，过点 A(−1，0)的抛物
线y=x2−bx−3 与x轴的另一个交点为 B，与 y轴交于点 C，其顶点为 D点。
(1)求b的值。
(2)连结 BD、CD，动点 Q的坐标为(m，1).
②连结 OQ、CQ，当∠CQO 最大时，求出点 Q的坐标。
【解析】(1)把A(−1，0)代入 y=x2−bx−3，可得 1+b−3=0，解得 b=2；
(2)① 设抛物线的对称轴与 x轴交于点 E.
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴D(1，−4)，则 OE=1，DE=4，
令x=0 得，y=−3;令y=0 得，x2−2x−3=0.
解得 x=−1 或x=3.
∴OB=3，OC=3，BE=2，
如图 1，过 C作BD 的平行线与直线 y=1 相交，则交点必为 Q，设直线 y=1 与y
轴交于点 F，则 CF=4.
∵DE FC∥，
∴∠FCQ= EDB.∠
又∵CF=4=DE，∠QFC=90°= BED∠，
在△QFC 和△△BED 中
∠FCQ= EDB∠，CF=DE，∠QFC= BED∠
∴△QFC BED≌△ ，
∴CQ=BD，FQ=EB=2，
∴m=FQ=2；
②如图 2，记△OQC 的外心为 M，则 M在OC 的垂直平分线 MN 上(设MN 与y
轴交于点 N).
1
连接 OM、CM，则∠CQO= CMO= OMN∠ ∠ ，MC=MO=MQ，
∴sin CQO=sin OMN=ON∠ ∠ /OM=1.5/OM，
∴sin CQO∠的值随着 OM 的增大而减小。
又∵MO=MQ，
∴当 MQ 取最小值时 sin CQO∠最大，
即MQ 垂直直线 y=1 时，∠CQO 最大，
此时，M与直线 y=1 相切。
∴MQ=NF=2.5，MN= ，
∴Q坐标为(2，1).
根据对称性，另一点(−2，1)也符合题意。
综上可知，Q点坐标为(2，1)或(−2，1).
练习 1-1 如图，顶点为 M的抛物线 y=ax2+bx+3 与x轴交于 A(−1，0)，B两点，
与y轴交于点 C，过点 C作CD y⊥轴交抛物线于另一点 D，作 DE⊥x轴，垂足
为点 E，双曲线 y= (x>0)经过点 D，连接 MD，BD.
(1)求抛物线的表达式；
(3)动点 P从点 O出发，以每秒 1个单位长度的速度沿 OC 方向运动，运动时间
为t秒，当 t为何值时，∠BPD 的度数最大?(请直接写出结果)
【解析】解;(1)C(0，3)
∵CD⊥y，∴D点纵坐标是 3，
∵D在y=6x上，∴D(2，3)，
将点 A(−1，0)和D(2，3)代入 y=ax2+bx+3，
2
∴a=−1，b=2，
∴y=−x2+2x+3；
(3)设P(0，t)，N(r，t)，
作△PBD 的外接圆 N，当⊙N与y轴相切时此时圆心 N到BD 的距离最小，圆
心角∠DNB 最大，则，∠BPD 的度数最大；
∴PN=ND，∴r= ，
∴t2−6t−4r+13=0，
易求 BD 的中点为(，)，
直线 BD 的解析式为 y=−3x+9，
∴BD 的中垂线解析式 y= x+，
N在中垂线上，∴t= r+ ，
∴t2−18t+21=0，
∴t= 或t= ，
∵圆 N与y轴相切，
∴圆心 N在D点下方，
∴0<t<3，
∴t= .
练习 1-2 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直角梯形 AOCD 的顶点 A的坐
标为(0，)，点 D的坐标为(1，)，点 C在x轴的正半轴上，过点 O且以
点D为顶点的抛物线经过点 C，点 P为CD 的中点。
(1)求抛物线的解析式及点 P的坐标；
(2)在y轴右侧的抛物线上是否存在点 Q，使以 Q为圆心的圆同时与 y轴、直线
OP 相切?若存在，请求出满足条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点M为线段 OP 上一动点(不与 O点重合)，过点 O、M、D的圆与 y轴的正半
轴交于点 N.求证：OM+ON 为定值。
(4)在y轴上找一点 H，使∠PHD 最大。试求出点 H的坐标。
3
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