《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.12.2二次函数与阿氏圆问题

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二次函数与阿氏圆问题

题型特点：动点在直线上运动、PA+k•PB 型线段和最小值

解题方法：构造共边共角相似问题，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k

值如果大于 1，则将线段扩大相同的倍数取点，k值如果小于 1，则将线段缩短

相同的倍数取点，再两点之间线段最短解决问题。

【经典例题 1】如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c与直线 AB 交于 A（﹣4， ﹣

4），B（0，4）两点，直线交 y轴于点 C．点 E是直线 AB 上的动点

过点 E作EF⊥x轴交 AC 于点 F，交抛物线于点 G．

（1）求抛物线 y=﹣x2+bx+c的表达式；

（2）连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G的坐标；

（3）①在 y轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E运动到什么位置时，以

A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E，H的坐标；

②在①的前提下，以点 E为圆心，EH 长为半径作圆，点 M为⊙E上一动点，

求

AM+CM 它的最小值．

【解析】(1)∵点A(−4，−4)，B(0，4)在抛物线 y=−x2+bx+c上，

∴ ，∴ ，

∴抛物线的解析式为 y=−x2−2x+4；

(2)设直线 AB 的解析式为 y=kx+n 过点 A，B，

∴ ，∴ ，

∴直线 AB 的解析式为 y=2x+4，

设E(m，2m+4)，

∴G(m，−m2−2m+4)，

∵四边形 GEOB 是平行四边形，

∴EG=OB=4，

−∴m2−2m+4−2m−4=4，

∴m=−2，

∴G(−2，4)；

(3)①如图1，

由(2)知，直线 AB 的解析式为 y=2x+4，

∴设 E(a，2a+4)，

∵直线 AC:y=− x−6，

∴F(a，−a−6)，

设H(0，p)，

∵以点 A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，

∵直线 AB 的解析式为 y=2x+4，直线 AC:y=− x−6，

∴AB AC⊥，

∴EF 为对角线，

∴(−4+0)= (a+a)，(−4+p)= (2a+4− a−6)，

∴a=−2，P=−1，

∴E(−2，0).H(0，−1)；

②如图 2，

由①知，E(−2，0)，H(0，−1)，A(−4，−4)，

∴EH= ，AE=2 ，

设AE 交⊙E于G，取 EG 的中点 P，

∴PE= ，

连接 PC 交⊙E于M，连接 EM，

∴EM=EH= ，∴PE/ME= ，∵ME/AE= ，

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