《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.12.1二次函数综合之与圆的位置关系

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二次函数与圆的问题

【经典例题1】如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣

2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．

(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；

(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；

(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少

？并求出点F的坐标．

【解析】(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x+8)，

将D(0，4)代入得4=16a，即a=，

∴抛物线的解析式为y= (x+8)(x+2)= x2+ x+4；

(2)证明：如图1，设直线CE与y轴交于点G，连接AB、AC、AG.

由题知，顶点E的坐标为(−5，− )，

设直线EC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，

∴直线CE的解析式为：y= x+，

令x=0得G(0，)

∴BG=4− = ，

∵CG= = ，

∴BG=CG，

在△ACG和△ABG中

∵AG=AG，AC=AB，CG=BG，

∴△ACG ABG(SSS)≌△

∴∠ACG= ABG∠，

∵A与y轴相切于点B，∴∠ACG= ABG=90∠∘，

∵点C在A上，

∴直线CE与A相切；

(3)存在点F，使△BDF面积最大。

如图2，连接BD、BF、DF，过F作FN y∥轴，交BD于点N，交x轴于点G.

由B(0，4)、D(−8，0)，

设直线BD的解析式为y=cx+d，则，解得：，

故直线BD的解析式为：y= x+4，

设F(t，t2+ t+4)，N(t，t+4)

则FN= t+4−( t2+ t+4)=− t2−2t，

∴S BDF=S DNF+S BNF=△ △ △ FN×DG+ FN×OG= FN×OD

= ×8×(− t2−2t)=−(t+4)2+16，

∴当t=−4时，S BDF△ 有最大值，最大值为16.

此时点F的坐标为(−4，−2).

练习1-1.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，

交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD

相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动

到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

练习1-2如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点

A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= x+4，与x轴

相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距

离．

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