《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.11二次函数综合之相似三角形

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相似三角形的判定

类型一：直角三角形相似根据相似、三角函数求解

【经典例题 1】如图，已知二次函数 y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点

A（3，1），点 C（0，4），顶点为点 M，过点 A作AB∥x轴，交 y轴于点 D，

交该二次函数图象于点 B，连结 BC．

(1)求该二次函数的解析式及点 M的坐标；

(2)若将该二次函数图象向下平移 m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数

图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求 m的取值范围；

(3)点P是直线 AC 上的动点，若点 P，点 C，点 M所构成的三角形与△BCD 相

似，请直接写出所有点 P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

【解析】(1)把点 A(3，1)，点 C(0，4)代入二次函数 y=−x2+bx+c得，

解得

∴二次函数解析式为 y=−x2+2x+4，

配方得 y=−(x−1)2+5，

∴点M的坐标为(1，5)；

(2)设直线 AC 解析式为 y=kx+b，把点 A(3，1)，C(0，4)代入得，

解得

∴直线 AC 的解析式为 y=−x+4，如图所示，对称轴直线 x=1 与△ABC 两边分别

交于点 E. 点F

把x=1 代入直线 AC 解析式 y=−x+4 解得 y=3，则点 E坐标为(1，3)，点 F坐标

为(1，1)

∴1<5−m<3，解得 2<m<4；

(3)连接 MC，作 MG y⊥轴并延长交 AC 于点 N，则点 G坐标为(0，5)

∵MG=1，GC=5−4=1

∴MC= ，

把y=5 代入 y=−x+4 解得 x=−1，则点 N坐标为(−1，5)，

∵NG=GC，GM=GC，

∴∠NCG= GCM=45°∠，

∴∠NCM=90°，

由此可知，若点 P在AC 上，则∠MCP=90°，则点 D与点 C必为相似三角形对

应点

①若有△PCM BDC∽△ ，则有 MC/CP=CD/BD

∵BD=1，CD=3，

∴CP=MC BD⋅/CD= = ，

∵CD=DA=3，

∴∠DCA=45°，

若点 P在y轴右侧，作 PH y⊥轴，

∵∠PCH=45°，CP= PH=∴=

把x=代入 y=−x+4，解得 y= ，

∴P1( ，)；

同理可得，若点 P在y轴左侧，则把 x=− 代入 y=−x+4，解得 y=

∴P2(− ，)；

②若有△PCM CDB∽△ ，则有 MC/CP=BD/CD

∴CP= = PH=∴÷ =3，

若点 P在y轴右侧，把 x=3 代入 y=−x+4，解得 y=1；

若点 P在y轴左侧，把 x=−3 代入 y=−x+4，解得 y=7

∴P3(3，1);P4(−3，7).

∴所有符合题意得点 P坐标有 4个，分别为 P1( ，)，P2(− ，

)，P3(3，1)，P4(−3，7).

【经典例题】抛物线 y=ax2+bx+c 过A(2，3)，B(4，3)，C(6，−5)三点。

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图①，抛物线上一点 D在线段 AC 的上方，DE AB⊥交AC 于点 E，若满足

，求点 D的坐标；

(3)如图②，F为抛物线顶点，过 A作直线 lAB⊥，若点 P在直线 l上运动，点 Q

在x轴上运动，是否存在这样的点 P、Q，使得以 B、P、Q为顶点的三角形与

△ABF 相似，若存在，求 P、Q的坐标，并求此时△BPQ 的面积；若不存在，

请说明理由。

【解析】(1)根据题意，设抛物线表达式为 y=a(x−3)2+h.

把B(4，3)，C(6，−5)代入得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y=−(x−3)2+4=−x2+6x−5；

(2)设直线 AC 的表达式为 y=kx+n，

则：，解得：k=−2，n=7，

∴直线 AC 的表达式为 y=−2x+7，

设点 D(m，−m+6m−5)，2<m<6，则点 E(m，−2m+7)，

∴DE=(−m2+6m−5)−(−2m+7)=−m2+8m−12，

设直线 DE 与直线 AB 交于点 G，

∵AG EG⊥，∴AG=m−2，EG=3−(−2m+7)=2(m−2)，

m−2>0，

在Rt AEG△中，∴AE= (m−2)，

由DE/AE= ，得，

化简得，2m2−11m+14=0，

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