《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.10.4二次函数综合之正方形

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正方形的存在性

类型一：根据全等求解

【经典例题 1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x轴于

A，B两点，交 y轴于点 C（0，3），．

（1）求抛物线的解析式；

（3）点 M是抛物线上任意一点，连接 CM，以 CM 为边作正方形 CMEF，是否

存在点 M使点 E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，

请说明理由．

【解析】(1) C(0∵，3)，∴OC=3，

∵tan OAC=∠，∴OA=4，

∴A(−4，0).

把A(−4，0)、C(0，3)代入 y=ax2+2ax+c中，

得，解得：，

∴抛物线的解析式为 y=− x2− x+3.

(2)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，

把A(−4，0)、C(0，3)代入 y=kx+b 中，

得：，解得：，

∴直线 AC 的解析式为 y= x+3.

设N(x，0)(−4<x<0)，则 H(x，x+3)，P(x，−x2− x+3)，

∴PH=− x2− x+3( x+3)=− x2− x=− (x−2)2+ ，

−∵<0，

∴PH 有最大值，

当x=2 时，PH 取最大值，最大值为 .

(3)过点 M作MK y⊥轴于点 K，交对称轴于点 G，则∠MGE= MKC=90°∠，!

∴∠MEG+ EMG=90°∠，

∵四边形 CMEF 是正方形，

∴EM=MC，∠MEC=90°，

∴∠EMG+ CMK=90°∠，

∴∠MEG= CMK.∠

在△MCK 和△MEG 中，∠MEG= CMK∠，∠MGE= CKM=90°∠，EM=MC，

∴△MCK MEG(AAS)≌△ ，

∴MG=CK.

由抛物线的对称轴为 x=−1，设 M(x，−x2− x+3)，则 G(−1，−x2−

x+3)，K(0，−x2− x+3)，

∴MG=|x+1|，CK=|− x2− x+3−3|=|− x2− x|=| x2+ x|

∴|x+1|=| x2+ x|，

∴x2+ x=±(x+1)，

解得：x1=−4，x2=− ，x3=− ，x4=2，

代入抛物线解析式得：y1=0，y2= ，y3= ，y4=0，

∴点 M的坐标是(−4，0)，(− ，)，(− ，)或(2，0).

练习 1-1 如图，抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴交于点 A和点 B，与 y轴交于点 C，

且OA＝2，OB＝OC＝6，点 D是抛物线的顶点，过点 D作x轴的垂线，垂足为

E．

（1）求抛物线的解析式及点 D的坐标；

（2）连接 BD，若点 F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE 时，求点 F的坐

标：

（3）若点 M是抛物线上的动点，过点 M作MN∥x轴与抛物线交于点 N，点 P

在x轴上，点 Q在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请求出

点Q的坐标．

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