《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.10.3二次函数综合之矩形

3.0 envi 2025-04-24 4 4 3.12MB 22 页 3知币

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矩形的存在性

根据平移、三角形全等，中点坐标公式等方法求解点坐标

类型一：已知一边垂直，对边相等即可

【经典例题 1】如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c与y轴相交于点 A(0，3)，与 x正

半轴相交于点 B，对称轴是直线 x=1.

(1)求此抛物线的解析式以及点 B的坐标。

(2)动点 M从点 O出发，以每秒 2个单位长度的速度沿 x轴正方向运动，同时动

点N从点 O出发，以每秒 3个单位长度的速度沿 y轴正方向运动，当 N点到达

A点时，M、N同时停止运动。过动点 M作x轴的垂线交线段 AB 于点 Q，交抛

物线于点 P，设运动的时间为 t秒。

①当 t为何值时，四边形 OMPN 为矩形。

②当 t>0 时，△BOQ 能否为等腰三角形?若能，求出 t的值；若不能，请说明理

由。

【解析】∵抛物线 y=−x2+bx+c对称轴是直线 x=1，

，解得 b=2，

∵抛物线过 A(0,3)，

∴c=3，

∴抛物线解析式为 y=−x2+2x+3，

令y=0 可得−x2+2x+3=0，解得 x=−1或x=3，

∴B点坐标为(3,0)；

(2)① 由题意可知 ON=3t，OM=2t，

∵P在抛物线上，

∴P(2t,−4t2+4t+3)，

∵四边形 OMPN 为矩形，

∴ON=PM，

∴3t=−4t2+4t+3,解得 t=1 或t= (舍去)，

∴当 t的值为 1时，四边形 OMPN 为矩形；

②∵A(0,3),B(3,0)，

∴OA=OB=3，且可求得直线 AB 解析式为 y=−x+3，

∴当 t>0 时，OQ≠OB，

∴当△BOQ 为等腰三角形时，有 OB=QB 或OQ=BQ 两种情况，

由题意可知 OM=2t，

∴Q(2t,−2t+3)，

∴OQ= = ,

BQ= = ，

又由题意可知 0<t<1，

当OB=QB 时,则有 =3,解得 t= (舍去)或t= ；

当OQ=BQ 时,则有 = ,解得 t= ；

综上可知当 t的值为或时，△BOQ 为等腰三角形。

按直角三角形算思路：先直角，再矩形

例1：已知 A（1，1）、B（4，2），点 C在x轴上，点 D在平面中，且以

A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求 D点坐标．

【解析】分别以点 A、B、C为直角顶点构造构造直角三角形，求出点 C的坐标

C1( ),C2( ),C3(2,0),C4(3,0)，在 C点的基础上，根据平移，全等，中

点坐标公式等求出 D点坐标。

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