《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.10.2二次函数综合之菱形

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菱形的存在性

根据平移、三角形全等，中点坐标公式等方法求解点坐标

类型一：根据等腰三角形确定第三点

【经典例题 1】如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c与x轴交于 A、B两点，与 y轴交于

C点，OA＝2，OC＝6，连接 AC 和BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点 M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 N，使以点 A、C、M、N

为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有点 N的坐标；若不存在，请说明

理由.

【解析】（1）∵OA=2 ，OC=6

∴A(-2 ，0)，C(0 ，-6)

抛物线 y=x2+bx+c 过点 A、C

∴4-2b+c=0；0+0+c=-6；；解得：b=-1；c=-6

∴抛物线解析式为 y=x2-x-6

（2）存在点 N，使以点 A、C、M、N为顶点的四边形是菱形

∵ A(-2 ，0)，C(0 ，-6)

∴AC=

①若 AC 为菱形的边长，如图 3

∴MN∥AC 且，MN=AC=

N1(-2，)，N2(-2 ，- )，N3(2 ，0)

②若 AC 为菱形的对角线，如图 4，则 AN∥CM，AN=CN

设N4(-2 ，n)

∴ -n= 解得：n=-

∴N4(-2 ，)

综上所述，点 N坐标为(-2，)，(-2 ，- ) ，(2 ，0)， (-2 ，

)．

练习 1-1 已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C分别为坐标轴上上

的三个点，且 OA=1，OB=3，OC=4，

（1）求经过 A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以点 A、B、C、P为顶点

的四边形为菱形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM AM|﹣ 的

最大值时点 M的坐标，并直接写出|PM AM|﹣ 的最大值．

【解析】(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，

∵A(1，0)、B(0，3)、C(−4，0)，

∴ ，解得：，

∴经过 A. B. C 三点的抛物线的解析式为 y=− x2− x+3；

(2)在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P，使得以点 A. B. C. P 为顶点的四边形为

菱形，理由为：

∵OB=3，OC=4，OA=1，

∴BC=AC=5，

当BP 平行且等于 AC 时，四边形 ACBP 为菱形，

∴BP=AC=5，且点 P到x轴的距离等于 OB，

∴点 P的坐标为(5，3)，

当点 P在第二、三象限时，以点 A. B. C. P 为顶点的四边形只能是平行四边形，

不是菱形，

则当点 P的坐标为(5，3)时，以点 A. B. C. P 为顶点的四边形为菱形；

(3)设直线 PA 的解析式为 y=kx+b(k≠0)，

∵A(1，0)，P(5，3)，

∴ ，解得：，

∴直线 PA 的解析式为 y= x−，

当点 M与点 P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM−AM|<PA，

当点 M与点 P、A在同一直线上时，|PM−AM|=PA，

∴当点 M与点 P、A在同一直线上时，|PM−AM|的值最大，即点 M为直线 PA

与抛物线的交点，

解方程组，得或，

∴点 M的坐标为(1，0)或(−5，− )时，|PM−AM|的值最大，此时|PM−AM|的最

大值为 5.

练习 1-2 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 x轴交于

A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为(3，0)，与 y轴交于 C(0，-3)点，

点P是直线 BC 下方的抛物线上一动点。

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