《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.9二次函数综合之等腰直角三角形和等边三角形的判定

3.0 envi 2025-04-24 4 4 3.42MB 21 页 3知币

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等边三角形的判定

【经典例题1】如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点

A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐

标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）

(1)求此抛物线的解析式．

(2)过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，

①求证：PF=PR；

②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由；

③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断

△RSF的形状．

【解析】(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，

∴A、D关于抛物线的对称轴对称；

∵E是AB的中点，

∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B(2，1)

∴A(2，−1)、D(−2，−1)；

由于抛物线的顶点为(0，0)，可设其解析式为：y=ax2，则有：

4a=−1，a=−

∴抛物线的解析式为：y=− x2.

(2)①证明：由抛物线的解析式知：P(a，−a2)，而R(a，1)、F(0，−1)，

则：PF= ，PR=1−(− a2)= a2+1.

∴PF=PR.

②由①得：RF= ；

若△PFR为等边三角形，则RF=PF=PR，得：

=a2+1，即： a4− a2−3=0，得：

a2=−4(舍去)，a2=12；

∴a=±2 ，−a2=−3；

∴存在符合条件的P点，坐标为(2 ，−3)、(−2 ，−3).

③同①可证得：QF=QS；

在等腰△SQF中，∠1= (180°− SQF)∠；

同理，在等腰△RPF中，∠2= (180°− RPF)∠；

∵QS BC⊥、PR BC⊥，

∴QS PR∥，∠SQP+ RPF=180°∠

∴∠1+ 2=∠(360°− SQF− RPF)=90°∠ ∠

∴∠SFR=180°− 1− 2=90°∠ ∠ ，

即△SFR是直角三角形。

练习1-1如图所示，已知二次函数y=ax2+bx 1﹣ （a≠0）的图象过点A（2，0）和

（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图

象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．

(1)求二次函数y=ax2+bx 1﹣ （a≠0）的解析式；

(2)请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；

(3)对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，

并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；

(4)试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存

在，请说明理由．

【解析】(1)∵二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象过点A(2，0)和B(4，3)，

∴ ，解得，∴二次函数的解析式为y= x2−1；

(2)令y= x2−1=0，

解得x=−2或x=2，

由图象可知当−2<x<2时y<0；

(3)当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；

当m=2时，P点的坐标为(2，0)，|PO|2=4，|PH|2=4，

当m=4时，P点的坐标为(4，3)，|PO|2=25，|PH|2=25，

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