《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.7二次函数综合之等腰三角形的判定

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等腰三角形的判定

【经典例题1—点在对称轴上】如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A、B两点，

与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣

1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；y=-x2+2x+3

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？

如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

【解析】（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得，解得

抛物线的解析式y=-x2+2x+3，

（2）如图由勾股定理，CD= ，CD=PD= ，P1（1，），P2（1，-

），

PC=PD时，设P（1，b），

1+（b-3）2=b2，

解得b=6，P3（1，），

综上所述：P1（1，），P2（1，-），P3（1，）；

练习1-1如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交

于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）.

(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求

出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

练习 1-2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与⊙M相交于

A、B、C、D四点。其中 AB 两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点 D在x

轴上且 AD 为⊙M的直径。点 E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点

F作FH⊥AD 于点 H，且 FH=1.5.

(1)求点 D的坐标及该抛物线的表达式；

(2)若点 P是轴上的一个动点，试求出△PEF 的周长最小时点 P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△QCM 是等腰三角形？如果存在，请

直接写出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

【经典例题2—点在斜线上】(2019菏泽)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y

轴交于点C(0，－2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作

PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝－1.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积；

(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使

△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说

明理由．

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