《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.5二次函数综合之图形最大面积

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本专题包含三种面积的计算：三角形面积、四边形面积和其它面积
三角形面积的计算思想：
（1）割补法；（2）转化法；（3）铅锤法；
与二次函数结合起来考最值问题时，还用到：（1）切线法；（2）三角函数法，
求面积比时分三种情况：
（1）同底不等高，面积比等于高之比；
（2）等高不等底，面积比等于底之比；
（3）相似，面积比等于相似比的平方.
在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边
与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条
边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法
F
E
D
A
B
C
D
F
E
D
C
B
A
h
D
C
B
A
1.如图，过三角形的某个顶点作与 轴或 轴的平行线，将原三角形分割成两个满
足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．
其中 ， 两点坐标可以通过 或 的直线方程以及 或 点坐标得到．
2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．
.
所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得．
3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．
如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用 ，
如果三角形的一条边与 平行，则可以快速求解．
类型一：三角形面积
【经典例题 1】例如图 1，抛物线 在抛物线的第二象限
上是否存在一点 D，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出点 P的坐标.
解法一：补形、割形法
方法一：见图
方法二：见图，
解法二：铅锤定理：“铅垂高，水平宽”面积法
过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距
离叫△ABC 的“水平宽(a)”，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的
“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法： S ABC=△，即
三角形面积等于水平宽与铅锤高乘积的一半.
根据上述方法，见图，三角形面积计算如下：
解法三：切线法
若要使△PBC 的面积最大，只需使 BC 上的高最大。过点 P作BC 的平行线 l，当
直线 l与抛物线有唯一交点（即点 P）时，BC 上的高最大，此时△PBC 的面积最
大。于是，得到切线法。过点 C向直线作垂线，此高与 MC 存在一定关系。（平
移）
解：求直线 BC 解析式，假设直线 l解析式:y=x+b，
解法四：三角函数法，见图
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