《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.4二次函数综合之线段最值，成比

3.0 envi 2025-04-24 4 4 3.06MB 25 页 3知币

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类型一：线段最值问题

【经典例题 1改编】抛物线 y=-x2+bx+c与直线 y=-x+5 一个交点 A（2，m），另

一个交点 B在x轴上，点 P是线段 AB 上异于 A、B的一个动点，过点 P做x轴

的垂线，交抛物线于点 E；

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的点 P，使线段 PE 长度最大？若存在求出最大值及此时点 P

的坐标，若不存在说明理由；

（3）在 y轴右侧，当 EP 平行于 y轴时，设点 E的横坐标为 m，当点 E到y轴

的距离等于线段 EP 的长时，求 m的值；

【解析】（1）A(2，-3)，抛物线解析式 y=-x2+6x-5

（2）设点 P的横坐标为 m，E(m，-m2+6m-5)，P(m，-m+5)

∴EP=yE-yP

=(-m2+6m-5)-(-m+5)

=-m2+7m-10

=-(m- )2+

当m= 时，EP 长度有最大值，此时，P( ，)

（3）根据题意分两种情况

①当 0<x<2 或x>5 时，EP=m2-7m+10，所以 m=m2-7m+10，即 m2-8m+10=0，

解得 m1=4+ ，m2=4- ；

②当 2<x<5 时，EP=-m2+7m-10，所以 m=-m2+7m-10，即 m2-6m+10=0，此方程

无解。

综上，m1=4+ ，m2=4-

【经典例题 2】如图所示，抛物线 y=ax2+bx-3(a≠0) 与x轴交于 A(-

3，0)，B(1，0)两点，与 y轴交于点 C，直线 y= -x 与抛物线交于 E，F两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动点，作 PH EF⊥于点 H，求 PH 的最大值；

【解析】

(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，

即−3a=−3，解得：a=1，

故抛物线的表达式为：y=x2+2x−3；

(2)过点 P作PM y∥轴交直线 EF 于点 M，

设点 P(x，x2+2x−3)、点 M(x，−x)，

则PH= PM= (−x−x2−2x+3)，

当x=− 时，PH 的最大值为：；

【经典例题 3】已知抛物线 l1:y1=ax2−2 的顶点为 P，交 x轴于 A. B 两点(A 点在

B点左侧)，且 sin ABP=∠.

(1)求抛物线 l1的函数解析式；

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