《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.3.2二次函数应用之建系问题

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2021 中考专项训练：二次函数应用

二、喷泉、拱形桥等建系问题

【经典例题 1】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图 1），它由五个高度不同，跨

径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图 2所示，此钢拱（近

似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B两点．

拱高为 78 米（即最高点 O到AB 的距离为 78 米），跨径为 90 米（即 AB=90 米），以最高点

O为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表

达式为( )

A． B．C． D．

【解析】设抛物线的解析式为：y=ax2，

将B(45，−78)代入得：−78=a×452，

解得：a=− ，

故此抛物线钢拱的函数表达式为：y=− x2.

故选：B.

练习 1-1 某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水

柱为抛物线，在距水池中心 3米处达到最高，高度为 5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水

池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师

傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提

下，把水池的直径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度

不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

练习 1-2 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图 1 所示），拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间

的距离均为 5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图 2所示），求抛物线的解析式；

（2）求支柱 EF 的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽 2m 的隔离带），其中的一条行车道能

否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．

练习 1-3 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6米，底部宽度 OM 为12 米. 现

以O点为原点，OM 所在直线为 x轴建立直角坐标系.

(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；

(2)求这条抛物线的解析式；

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使 C、D点在抛物线上，A、B点在地面 OM 上，

则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

练习 1-4 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的

三边 AE，ED，DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED＝16 米，AE＝8米，抛物线的顶点 C

到ED 距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x轴，抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系，

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40 小时内，水面与河底 ED 的距离 h（单位：米）随时间 t（单位：

时）的变化满足函数关系。

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