《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.3.1二次函数应用之利润问题

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2021 中考专项训练：二次函数应用题

基本公式：总利润=（售价-进价）*销售量

总利润=总售价-总成本

利润率=

成本一般包括固定成本（进价等）和浮动成本（房租、水电费等）

类型一：一次函数型（销售量与销售单价成一次函数关系）

【经典例题 1——图象型】某公司去年年初投资 1200 万元购买新生产线生产新产品，此外，

生产每件该产品还需要成本 60 元，按规定，该产品售价不得低于 100 元/件且不超过 200 元/

件，该产品的年销售量 y（万件）与产品售价 x（元/件）之间的关系如图所示．

（1）求 y与x的函数关系式，并写出 x的取值范围；

（2）求该公司去年所获利润的最大值；

（3）在去年获利最大的前提下，公司今年重新确定产品的售价，能否使去年和今年共获利

1320 万元？若能，请求出今年的产品售价；若不能，请说明理由．

【解析】(1)设y=kx+b，

则，

解得，

∴y与x的函数关系式为 y=− x+30(100⩽x200)⩽；

(2)设公司去年获利 w万元

则w=(x−60)(− x+30)−1200=− (x−180)2+240，

−∵<0，100⩽x200⩽，

∴当 x=180 时，w取最大值 240，

∴去年获利最大为 240 万元；

(3)根据题意，得(x−60)(−110x+30)+240=1320，

解得 x1=120，x2=240，

∵100⩽x200⩽，

∴x=120.

答：今年的产品售价定为 120 元/件时，可使去年和今年共获利 1320 万元。

【经典例题 2——两点型】某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20 元，出于营销考虑，要

求每本纪念册的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量

y（本）与每本纪念册的售价 x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 22 元时，销售

量为 36 本；当销售单价为 24 元时，销售量为 32 本．

（1）请直接写出 y与x的函数关系式；

（2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？

（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w元，将该纪念册销售单价定为多少

元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

【解析】(1)设y=kx+b，

把(22，36)与(24，32)代入得：则，

解得，

则y=−2x+80；

(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是 x元，

根据题意得：(x−20)y=150，

则(x−20)(−2x+80)=150，

整理得：x2−60x+875=0，

(x−25)(x−35)=0，

解得：x1=25，x2=35，

∵20⩽x⩽28，

∴x=35(不合题意舍去)，

答：每本纪念册的销售单价是 25 元；

(3)由题意可得：

w=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200，

此时当 x=30 时，w最大，

又∵售价不低于 20 元且不高于 28 元，

∴x<30 时，y随x的增大而增大，即当 x=28 时，w最大=−2(28−30)2+200=192(元)，

答：该纪念册销售单价定为 28 元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润

是192 元。

【经典例题 3——表格型】某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为 6元/个.

根据市场调查，该产品的日销售量 y（个）与销售单价 x（元/个）之间满足一次函数关系，

关于日销售量 y（个）与销售单价 x（元/个）的几组数据如下表：

x10 12 14 16

y 300 240 180 m

（1）求出 y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及 m的值.

（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为 17.5 元/个时，日销售量为__________个，

此时，获得日销售利润是__________元.

（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在 900 元（含 900 元）以内，按照（1）中的销

售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润.

【解析】

(1)y 是x的一次函数，设 y=kx+b，

图象过点(10，300)，(12，240)，

，

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