《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.2.1二次函数图象与a、b、c的关系

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二次函数图象与系数 a、b、c的关系

1、二次函数的解析式 y=ax2+bx+c（a≠0）

a——开口方向及开口大小

当a>0 时开口向上，当 a<0 时开口向下；越大，抛物线的开口越小.

a、b——决定对称轴的位置，“左同右异”

b=0 时，对称轴为 y轴；

a、b同号时，对称轴在 y轴的左侧（左同）；

a、b异号时，对称轴在 y轴的右侧（右异）.反之，亦成立.

c——图象与 y轴的交点

c=0 时，抛物线经过原点；

c>0 时，抛物线与 y轴交于正半轴；

c<0 时，抛物线与 y轴交于正半轴；

2、二次函数与一元二次方程的关系：判别式，

，图象与 x轴有两个交点；

，图象与 x轴有一个交点；

，图象与 x轴有一个交点.

3、对称轴借助于确定的对称轴 x=，建立 a、b的等量关系(代换)或大小关

系，

常见结论：，

常见不等式：需考虑 a、b的正负！！！

4、记住常用 6个点，判断正负关系

当x=1 时，y=a+b+c；当x=-1 时，y=a-b+c

当x=2 时，y=4a+2b+c；当 x=-2 时，y=4a-2b+c

当x=3 时，y=9a+3b+c；当 x=-3 时，y=9a-3b+c

5、函数值的变化规律

开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的

增大而增大；

开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在对称轴右边，y随x的

增大而减小；

6、比较 y值的大小（距离大小）

开口向上，横坐标越靠近对称轴值越小即点到对称轴的距离越小，值越小；

开口向下，横坐标越靠近对称轴值越大即点到对称轴的距离越小，值越大；

7、与不等式的关系，

①函数图象与 x轴的交点横坐标分别为 x1，x2，且 x1<x2，

图象开口向上，y>0 则取两边即 x>x2或x<x1；y<0 则取中间即 x1<x<x2；

图象开口向下，y>0 则取中间即 x1<x<x2；y<0 则取两边即 x>x2或x<x1；

②与一次函数结合

不等式 ax2+bx+c > kx+b抛物线图象位于一次函数的上方；

不等式 ax2+bx+c < kx+b抛物线图象位于一次函数的下方.

8、图象的平移：平移规律“左加右减”

①在一般式 y=ax2+bx+c（a≠0）中直接平移自变量 x，

向左平移 m个单位 y=a(x+m)2+b(x+m)+c

向右平移 m个单位 y=a(x-m)2+b(x-m)+c

向上平移 m个单位 y=ax2+bx+c+m

向下平移 m个单位 y=ax2+bx+c-m

②在顶点式中

y=a（x-h）2 +k（a≠0），

上下左右平移，

轴对称变换，与 x轴对称，a变号，顶点为（h，-k）“横同纵反”

与y轴对称，a不变，顶点为（-h，k）“横反纵同”

旋转变换，绕顶点（180°），a变号，顶点为（h，k）

绕原点（180°），a变号，顶点为（-h，-k）

9、对二次函数概念的理解：y=ax2+bx+c(x为实数)

抛物线本身和其顶点坐标；(a+c)2-b2<0

m(am+b)<a-b(m≠-1)或者 at2+bt≤a-b(t为任意实数)

【经典例题 1—图像类】已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x= -

1，顶点坐标为（-1，-4）与 x轴的一个交点 B为（1，0），其图像如图所示，

下列结论：

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