《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.1.1二次函数的图象与性质

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二次函数的图像和性质
知识点一、二次函数的定义
1、定义：形如__________________________的函数.
要点点拨：
(1)等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x的整式.
(2)a，b，c为常数，且 a≠0.
(3)等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
(4)x的取值范围是任意实数.
知识点二、二次函数的图象和性质
二次函数的图象都是抛物线，画图象的三步为:列表、描点、D连线.
1.二次函数基本形式： 的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小.
2.二次函数 y=ax2+k的图象和性质：上加下减
a值开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (0，0) y 轴
x>0 时，y随x的增大而增大；
x<0 时，y随x的增大而减小；
x=0 时，y有最小值 0.
a<0 向下 (0，0) y 轴
x>0 时，y随x的增大而减小；
x<0 时，y随x的增大而增大；
x=0 时，y有最大值 0.
1
总结: 二次函数 y=ax2+k图象与二次函数 y=ax2图象的关系，简记为“上加下减”.
当k>0 时，可将抛物线 y=ax2向_____平移 个单位得到 y=ax2+k；
当k<0 时，可将抛物线 y=ax2向_____平移 个单位得到 y=ax2+k.
3.二次函数 y=a(x-h)2的图象和性质：左加右减.
总
结:
二
次
函
数
y=a(x-h)2图象与二次函数 y=ax2图象的关系，简记为“左加右减”
当h>0 时，可将抛物线 y=ax2向_____平移 个单位得到 y=a(x-h)2;
当h<0 时，可将抛物线 y=ax2向_____平移 个单位得到 y=a(x-h)2.
4.二次函数 y=a(x-h)2+k的图象和性质
总
结:
二
a值开口方
向顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (0，k) y 轴x>0 时，y随x的增大而增大；x<0 时，y随 的
增大而减小；x=0 时，y有最小值 k.
a<0 向下 (0，k) y 轴x>0 时，y随 的增大而减小；x<0 时，y随 的
增大而增大；x=0 时，y有最大值 k.
a值开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (h，0) x=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随
的增大而减小；x=h时，y有最小值 .
a<0 向下 (h，0) x=hx>h时，y随 的增大而减小；x<h时，y随x
的增大而增大；x=h时，y有最大值 .
a值开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (h，k)x=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x
的增大而减小；x=h时，y有最小值 .
a<0 向下 (h，k)x=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x
的增大而增大；x=h时，y有最大值 .
2
次函数 y=a(x-h)2+k图象与二次函数 y=ax2图象的关系
把抛物线 y=ax2向上(下)、向右(左)平移，可以得到抛物线 y=a(x-h)2+k，平移的方向、距离要
根据 h、k的值来决定.
1. 平移步骤：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
⑵保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向右(
h
>
0)【或左(
h
<0)】
平移 |
个单位
向上(
k
>0)【或下(
k
<0)】
平移
|个单位
向右(
h
>
0)【或左(
h
<0)】
平移|
个单位
向右(
h
>
0)【或左(
h
<0)】
平移|
个单位
向上(
k
>0)【或下(
k
<0)】平移
|个单位
向上(
k
>
0
)【或向下(
k
<
0)】平移
|个单位
y=a
(
x-h
)
2
+k
y=a
(
x-h
)
2
y=a
x
2
+
k
y=ax
2
2. 平移规律:
在原有函数的基础上“值正右移，负左移； 值正上移，负下移”.
概括成八个字:“左加右减，上加下减”.
知识点三、二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质
知识点 1:二次函数 y=ax2+bx+c图象的特征
D①图象是_______;② 对称轴是直线_______;③ 顶点是_______.
当a>0 时，抛物线的开口向上，顶点是最低点.
当a<0 时，抛物线的开口向下，顶点是最高点.
知识点 2:二次函数 y=ax2+bx+c图象的性质
从二次函数 y=ax2+bx+c图象可知:
3
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