《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题9圆—9.15圆中最值问题(2)

3.0 envi 2025-04-24 4 4 2.2MB 34 页 3知币

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点圆关系问题

三、利用坐标特性进行转换

【经典例题 5】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A

(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，点 P在以 D(4，4)为圆心，1 为半径的圆上

运动，且始终满足∠BPC=90°，则 t 的最大值是 .

【解析】如图，连接 AP，

∵点 A(0，1)、点 B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，

∴AB=(1+t)−1=t，AC=1−(1−t)=t，

∴AB=AC，

∵∠BPC=90∘，

∴AP= BC=AB=t，

要t最大，就是点 A到⊙D上的一点的距离最大，

∴点 P在AD 延长线上，

∵A(0，1)，D(4，4)，

∴AD= ，

∴t的最大值是 AP=AD−PD=5+1=6，最小值为 4.

故答案为：6，

练习 5-1 如图，已知直线 y= x−3 与x轴、y轴分别交于 A. B 两点，P是以

C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结 PA、PB.则△PAB 面积的最大值

是( )

A. 8 B. 12 C. D.

【解析】∵直线 y= x−3 与x轴、y轴分别交于 A. B 两点，

∴A点的坐标为(4，0)，B点的坐标为(0，−3)，3x−4y−12=0，

即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，

过C作CM AB⊥于M，连接 AC，

则由三角形面积公式得： ×AB×CM= ×OA×OC+ ×OA×OB，

∴5×CM=4×1+3×4，

∴CM= ，

∴圆 C上点到直线 y= x−3 的最大距离是 1+ = ，

∴△PAB 面积的最大值是 ×5× = ，

故选：C.

练习 5-2 如图，直线 y= x+3 与x轴、y轴分别交于 A，B两点，点 P是以

C(1，0)为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接 PA，PB，则△PAB 面积的最

小值是( )

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

【解答】

作CH AB⊥于H交⊙O于E. F.

∵C(1，0)，直线 AB 的解析式为 y= x+3，

∴直线 CH 的解析式为 y= x+，

由解得，

∴H(− ，)，

∴CH= =3，

∵A(4，0)，B(0，3)，

∴OA=4，OB=3，AB=5，

∴EH=3−1=2，

当点 P与E重合时，△PAB 的面积最小，最小值= ×5×2=5，

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