《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题9圆—9.15圆中最值问题 (1)

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垂线段最短问题、将军饮马问题、面积最大问题
一、垂线段最短求最值
【经典例题 1】如图，在⊙O中，弦 AB=8，点 C在AB 上移动，连接 OC，过点 C
作CD OC⊥交⊙O于点 D，则 CD 的最大值是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
练习 1-1 如图，在⊙O中，弦 AB＝1，点 C在AB 上移动，连结 OC，过点 C作
CD⊥OC 交⊙O于点 D，则 CD 的最大值为　
　 ．
【解析】连接 OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝ ＝ ，
当OC 的值最小时，CD 的值最大，
而OC⊥AB 时，OC 最小，此时 D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝ ，
即CD 的最大值为 ，
故答案为： ．
【经典例题 2】已知直线 y=﹣x+7a+1 与直线 y=2x2﹣a+4 同时经过点 P，点 Q是以
M （0，﹣1）为圆心，MO 为半径的圆上的一个动点，则线段 PQ 的最小值为（
）
A. B. C. D.
【解析】解方程组 得 ，
∴P点坐标为（3a 1﹣ ，4a+2），
设x=3a1﹣ ，y=4a+2，
∴y＝x+，
即点 P为直线 y＝x+上一动点，
设直线 y＝x+与坐标的交点为 A、B，如图，则 A（﹣ ，0），B（0，
），
∴AB=
过M点作 MP⊥直线 AB 于P，交⊙M于Q，此时线段 PQ 的值最小.
∵∠MBP= ABO∠，
∴Rt MBP Rt ABO△ ∽ △ ，
∴MP：OA=BM：AB，即 MP：= ： ，
∴MP= ，∴PQ= 1=﹣ ，
即线段 PQ 的最小值为 .
故答案为：C.
练习 2-1 如图，在平面直角坐标系
xOy
中，半径为 2的
O
与
x
轴的正半轴交于点
A
，点
B
是
O
上一动点，点
C
为弦
的中点，直线
33
4
y x 
与
x
轴、
y
轴分别交
于点
D
、
E
，则
CDE
面积的最小值为　 　 ．
【解析】如图所示，点 C在以 AO 为直径的圆上，△DMN 相似于△DEO；
可得 C’N=MN-1= ，
所以△CDE 面积的最小值为 =2.
练习 2-2 如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段 BC 上
的一个动点，以 AD 为直径画⊙O分别交 AB，AC 于E，F，连接 EF，则线段 EF
长度的最小值为 .
【解析】连接 OE、OF，作 OM⊥EF 于M，作 AN⊥BC 于N，如图，
∵∠EOF＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
而OE＝OF，OM⊥EF，
∴∠OEM＝30°，EM＝FM，
在Rt△OEM 中，OM＝OE，
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