《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题8几何图形变化—8.2平移之证明计算

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一、平移
(1)平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到
另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合
的点叫做对应点。
(2)平移的性质：
①对应点的连线平行(或共线)且相等
②对应线段平行(或共线)且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成
的四边形为平行四边形(四个端点共线除外)
③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
(3)用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数
a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移 a个单位长；如
果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数 a，横坐标不变，相应的
新图形就是把原图形向上(或向下)平移 a个单位长。（从坐标来讲：向正方向平
移为加，逆方向平移为减）
(4)平移的两个要素：平移方向、平移距离
(5)平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到
相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如
下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法。
考点5：平移后的证明型问题
类型一 【直角三角形的平移】
【经典例题 1】两个三角板 ABC，DEF 按如图所示的位置摆放，点 B与点 D重
合，边 AB 与边 DE 在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，
其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝4 cm.现固定三角板
DEF，将三角板 ABC 沿射线 DE 方向平移，当点 C落在边 EF 上时停止运动．
设三角板平移的距离为 (cm)，两个三角板重叠部分的面积为 (cm2)．
(1)当点 C落在边 EF 上时， ＝________cm；
(2)求 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
1
(3)设边 BC 的中点为点 M，边 DF 的中点为点 N，直接写出在三角板平移过程中，
点M与点 N之间距离的最小值．
【解析】（1）如图：
作CG⊥AB 于G点．
在Rt△ABC 中，由 AC=4，∠ABC=30，得
BC= =4 ．
在Rt△BCG 中，BG=BC•cos30°=6．
四边形 CGEH 是矩形，
CH=GE=BG+BE=6+4=10cm，
故答案为：10 .
（2）①当 时，如解图
∵∠GDB＝60°，∠GBD＝30°，
∴DB＝x，DG＝x，BG＝x，
重叠部分的面积 y＝DG·BG＝×x×x＝x2　　　　　　
2
② 时，如解图
BD＝x，DG＝x，BG＝x，BE＝x－4，
EH＝ (x－4)
重叠部分的面积 y＝S△BDG－S△BEH＝DG·BG－BE·EH，
即y＝×x×x－ (x－4)× (x－4)，　　　　　　　　　　　　
化简得：
③当 时，如解图
AC＝4，BC＝4，BD＝x，BE＝x－4，
EG＝ (x－4)
重叠部分的面积 y＝S△ABC－S△BEG＝AC·BC－BE·EG，
即y＝×4×4 － (x－4)× (x－4)，
化简得：
3
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