《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.6几何证明之正方形根2图

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图

基本图形：

基本结论：图①中，若 DA=DC，∠ADC= ABC=90°∠，则 BA+BC= BD.

图②中，若 DA=DC，∠ADC= ABC=90°∠，则 CB-AB= BD.

方法归纳：关键是利用截长法或补短法或作垂线构造等腰直角三角形。

【经典例题 1】如图，在正方形 ABCD 中，E为AC 上一点，F为CD 是一点，

ED=EF，求证：（1）DF= AE；（2）BF= EF；（3）CB+ CF= CE.

【解析】过 E作EM 垂直于 DF，EN 垂直于 AD。由于 ED=EF，也就是三角形

EFD 等腰，M点就是 DF 的中点。DMEN 是个长方形，DM=NE，而三角形

AEN 是等腰直角三角形，如果 AE=x，那么 NE=x/根号 2，DF=2DM=根号 2x

BF²=FC²+CB² = (a-根号 2x)²+a² = 2a²-2 根号 2ax+2x²

EF²=EM²+MF² = (a-x/根号 2)²+(x/根号 2)² = a²-根号 2ax+x²

所以 BF²=2EF²， BF=根号 2EF

其实从角度看，如∠NED=α，则∠DEC=135-α，∠DEM=∠MEF=90-α，正方形

的话 AC 是∠DCB 的角平分线，ED=EB=EF，∠DEC=∠CEB，∠MEC=45，所

以∠FEC=45-(90-α)=α-45，所以∠FEB=(135-α)+(α-45)=90，所以△EFB 是等腰

直角三角形，BF=根号 2EF

CB+CF=a+(a-根号 2x)=2a-根号 2x

CE=根号 2a-x

所以 CB+CF=根号 2CE

练习 1-1 如图，点 O为正方形 ABCD 的对角线的交点，点 E为正方形外一点，

且AE BE⊥。

（1）求∠OEB 的度数；（2）求证：EA+EB= OE.

变式：如图，若上题中的点 E为正方形内部一点，其他条件不变。

（1）求∠OEB 的度数；

（2）试探究 EA、EB、OE 之间的数量关系.

【解析】

（1）在 BE 上取点 M，使 BM=AE，连结 OM、OA、OB，记 AO 与BE 的交点

为N

∠OAE+ ANE=90°= OBM+ ONB∠ ∠ ∠ ，且∠ANE= ONB∠，则∠OAE= OBM∠

进而△OAE OBM≌△ （SAS），得出 OE=OM，∠BOM= AOE∠

因此有∠MOE= AOE+ MOA= BOM+ MOA=90°∠ ∠ ∠ ∠

所以△MOE 为等腰直角三角形，故∠OEB=45°

（2）在等腰 Rt MOE△ 中，有 ME= OE

因此 EB=BM+ME=EA+ OE

练习 1-2 如图，点 O为正方形 ABCD 的对角线的交点，E为正方形外一点，且

AE BE⊥．

（1）求∠OEB 的度数；

（2）求证：EA+EB= OE．

【解析】（1）作 OM EA⊥，ON EB⊥垂足分别为 M、N．

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