《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.5几何证明之正方形对称模型

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对称图形

基本图形：

基本结论：若四边形 ABCD 是正方形，P是对角线 BD 上任意一点，则 PA=PC.

若四边形 ABCD 是菱形，P是对角线 BD 上任意一点，则 PA=PC.

【经典例题 1】如图，已知正方形 ABCD，点 P在对角线 BD 上，PE PA⊥交BC

于点 E，PF BC⊥，垂足为点 F.

（1）求证：∠PEC= BAP∠；（2）求证：EF=FC；

（3）求证：DP= CF.

【解析】证明：1，∠PAB+ PEB=360°- ABC- APE=360°-90°-90°=180°∠ ∠ ∠ ，

而∠PEF+ PEB=180°∠，∴∠PEC= BAP∠；

2，连接 PC，则易证△PAB PCB≌△ ，所以∠PCF= PAB= PEF∠ ∠ ，易得

△PEF PCF≌△ ，∴EF=PC.

3.因为 PM⊥DC，PF⊥BC，DC⊥BC

∴四边形 PFCM 是矩形

∴PM=CF

∴DP= CF

练习 1-1 已知，正方形 ABCD，点 P在对角线 BD 上，连接 AP、CP(如图①)

(1)求证：AP＝CP.

(2)将一直角三角板的直角顶点置于点 P处并绕点 P旋转，设两直角边分别交

DC、BC 于E、F，

a.若旋转到图②位置，使 PE 与PA 在一直线上，求证：PF＝PA.

b.若旋转到图③位置且 PD PB∶ ＝2 3∶ ，求 PE PF∶ 的值.

【解析】

（1）∵BD 是正方形 ABCD 的对角线，

∴AB=BC，∠ABD= CBD=45°∠，

在△ABP 和△CBP 中，

AB=CB

∠ABD= CBD∠

AP=AP，

∴△ABP CBP≌△ ，

∴AP=CP，

（2）a、如图②，连接 PC，

∵∠CBD=45°，

∴∠PFC= CBD+ BPF=45°+ BPF∠ ∠ ∠ ，

∵∠EPF= APF=90°∠，

∴∠BPF+ APB=90°∠，

∴∠BPF=90°- APB∠，

∴∠PFC=135°- APB∠

∵∠APB= DAP+ ADB=45°+ DAP∠ ∠ ∠ ，

同（1）的方法得出△PAD PCD≌△ ，

∴∠DAP= DCP∠，

∴∠APB=45°+ DCP∠，

∵∠PCF+ DCP=90°∠，

∴∠PCF=90°- DCP=90°-∠（∠APB-45°）=135°- APB∠，

∴∠PFC= PCF∠，

∴PF=PC，

由（1）知，PA=PC，

∴PF=PA．

b、如图③，

过点 P作PG BC⊥，

∵∠CBD=45°，

∴PG= BP，

过点 P作PH CD⊥，

同理：PH= DP，

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