《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.4几何证明之正方形十字模型变式

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正方形十字模型

1.正方形中的垂直线段

基本结论：如图所示，正方形 ABCD 中，若 EF GH⊥，则 EF=GH.反之：若

EF=GH，则 EF GH⊥。

【经典例题变式】

练习 1（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在 BC，CD 上，AE BF⊥

于点 M，求证：AE=BF；

（2）如图 2，将（1）中的正方形 ABCD 改为矩形

ABCD，AB=2，BC=3，AE BF⊥于点 M，探究 AE 与BF 的数量关系，并证明

你的结论．

【解析】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，

∴∠ABC= C∠，AB=BC．

∵AE BF⊥，

∴∠AMB= BAM+ ABM=90°∠ ∠ ，

∵∠ABM+ CBF=90°∠，

∴∠BAM= CBF∠．

在△ABE 和△BCF 中，

∠BAE= CBF∠ AB=CB ABE= BCF∠ ∠ ，

∴△ABE BCF≌△ （ASA），

∴AE=BF；

（2）解：AE= BF，

理由：∵四边形 ABCD 是矩形，

∴∠ABC= C∠，

∵AE BF⊥，

∴∠AMB= BAM+ ABM=90°∠ ∠ ，

∵∠ABM+ CBF=90°∠，

∴∠BAM= CBF∠，

∴△ABE BCF∽△ ，

∴AE/BF=AB/BC= ，

∴AE= BF．

点评本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的

性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

练习 2（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 BC，CD 上，

AE，BF 交于点 O，∠AOF=90°．求证：BF=AE．

（2）如图 2，正方形 ABCD 边长为 12，将正方形沿 MN 折叠，使点 A落在 DC

边上的点 E处，且 DE=5，求折痕 MN 的长．

（3）已知点 E，H，F，G分别在矩形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上，

EF，GH 交于点 O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：①如图

3，矩形 ABCD 由2个全等的正方形组成，则 GH=______；②如图 4，矩形

ABCD 由n个全等的正方形组成，则 GH=______．（用 n的代数式表示）

【解析】（1）证明：如图，∵四边形 ABCD 为正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°．

∵∠EOB=∠AOF=90°，

∴∠FBC+∠AEB=90°，

∴∠EAB=∠FBC，

在△ABE 和△BCF 中，

∠EAB＝∠FBC

AB＝BC

∠ABC＝∠C＝90°，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴AE=BF；

（2）解：如图 2，连接 AE，过点 N作NH⊥AD 于H，

由折叠的性质得，AE⊥NM，

∴∠DAE+∠AMN=90°，

∠MNH+∠AMN=90°，

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