《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.4几何证明之正方形十字模型

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正方形十字模型

1.正方形中的垂直线段

基本结论：如图所示，正方形 ABCD 中，若 EF GH⊥，则 EF=GH.反之：若

EF=GH，则 EF GH⊥。

【经典例题 1】如图 1，在正方形 ABCD 中，E为边 BC 上一点（不与点 B、C重

合），垂直于 AE 的一条直线 MN 分别交 AB、AE、CD 于点 M、P、N．

（1）求证 AE＝MN；

（2）如图 2，若垂足 P恰好为 AE 的中点，连接 BD，交 MN 于点 Q，连接

EQ，并延长交边 AD 于点 F．求∠AEF 的度数；

（3）如图 3，若该正方形 ABCD 边长为 10，将正方形沿着直线 MN 翻折，使得

BC 的对应边 B′C′恰好经过点 A，过点 A作AG⊥MN，垂足分别为 G，若 AG＝

6，请直接写出 AC′的长________．

【解析】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，

∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，

过点 B作BF∥MN 交CD 于点 F，如图 1所示：

∴四边形 MBFN 为平行四边形，

∴MN＝BF，BF⊥AE，

∴∠ABF+∠BAE＝90°，

∵∠ABF+∠CBF＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，

在△ABE 和△BCF 中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴AE＝BF，

∴AE＝MN；

（2）解：连接 AQ，过点 Q作HI∥AB，分别交 AD、BC 于点 H、I，如图 2所示：

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴四边形 ABIH 为矩形，

∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，

∵BD 是正方形 ABCD 的对角线，

∴∠BDA＝45°，

∴△DHQ 是等腰直角三角形，

∴HD＝HQ，AH＝QI，

∵MN 是AE 的垂直平分线，

∴AQ＝QE，

在Rt△AHQ 和Rt△QIE 中，

，

∴Rt△AHQ Rt≌ △QIE（HL），

∴∠AQH＝∠QEI，

∴∠AQH+∠EQI＝90°，

∴∠AQE＝90°，

∴△AQE 是等腰直角三角形，

∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°；

（3）解：延长 AG 交BC 于E，如图 3所示：

则EG＝AG＝6，

∴AE＝12，

在Rt△ABE 中，，

∴CE＝BC﹣BE＝10 2﹣，

由折叠的性质得：AC'＝CE＝10 2﹣，

故答案为：10 2﹣．

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