《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.2几何证明之三垂直模型

3.0 envi 2025-04-24 8 4 2.04MB 28 页 3知币
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三垂直模型
【模型概述】
出现 3个直角，且 3个直角的顶点共线时，角的边相交会形成相似（含全等）
三角形。
【基本模型】
图1 图2
【解读】
（1）图 1和图 2中，三个直角顶点 B，C，D共线；
（2）当△ABC 和△CDE 三组对应边均不相等时，有△ABC∽△CDE；
（3） 当 △ ABC 和 △ CDE 任 意 一 组 对 应 边 相 等 时 （ 如 AC=CE ） ， 有
△ABC≌△CDE；
（4）证明思路：同角的余角相等
（5）解题时往往只含有两个甚至一个垂直关系，需通过作垂线构造出三垂直模
型，从而构造出全等或相似三角形，利用全等和相似的性质求解角度和线段长
等问题。
模型二、K字型及其旋转
1
A
DC
E
B
DC
E
BA
AD
C
E
B
【经典例题 1】如图 1，OA=2，OB=4，以 A点为顶点、AB 为腰在第三象限作
等腰 Rt△ABC，
(1)求C点的坐标；
(2)如图 2，P为y轴负半轴上一个动点，当 P点向 y轴负半轴向下运动时，以 P
为顶点，PA 为腰作等腰 Rt△APD，过 D作DE⊥x轴于 E点，求 OP−DE 的值；
(3)如图 3，已知点 F坐标为(−2，−2)，当 G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，
作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG 与y轴负半轴交于点 G(0，m)，FH 与x
轴正半轴交于点 H(n，0)，当 G点在 y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个
结论：
①m−n为定值；② m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结
论，并求出其值。
2
【解析】（1）点 C坐标（-6，-2）
（2）过 D作DQ OP⊥于Q点.
则OP－DE＝PQ ，∠APO＋∠QPD＝90°，∠APO＋∠OAP＝90°.
则∠QPD＝∠OAP. ……1 分
在△AOP 和△PDQ 中
∠AOP= PQD QPD= OAP AP=PD∠ ∠ ∠
则△AOP PDQ. ……2≌△ 分
∴ PQ＝OA＝2 . ……3 分
（3）结论②是正确的，m＋n＝－4. ……4 分
过点 F分别作 FS x⊥轴于 S点，FT y⊥轴于 T点.
则FS＝FT＝2，∠FHS = HFT= FGT. ……5∠ ∠ 分
∠FSH= FTG FHS= FGT FS=FT∠ ∠ ∠
在△FSH 和△FTG 中
则△FSH FTG. ≌△
则GT＝HS. ……6 分
又∵ GT＝－2－m，HS＝n－（－2），
∴ －2－m＝ n－（－2）.
∴ m＋n＝－4. ……7 分
3
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