《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题6锐角三角函数—6.6影响范围+答案

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三角函数之影响范围
【经典例题 1】如图所示，一条渔船某时刻在位置 A观测灯塔 B、C(灯塔 B距离 A处
较近)，两个灯塔恰好在北偏东 65°45′的方向上，渔船向正东方向航行 l小时 45 分钟之
后到达 D点，观测到灯塔 B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是 12 海里，
渔船的速度是 16 海里／时，又知在灯塔 C周围 18.6 海里内有暗礁，问这条渔船按原
来的方向继续航行，有没有触礁的危险?
【解析】船的行程图如图所示：
1小时 45 分=1 小时=小时，
在Rt ABD△中，
AD=16× =28(海里)，
∠BAD=90°−65°45′=24°15′，
∵cos24°15′=AD/AB，
∴AB=AD/cos24°15′=28/0.9118≈30.71(海里)，
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里)
在Rt ACE△中，
sin24°15′=CE/AC，
∴CE=AC sin24⋅°15′=42.71×0.4107=17.54(海里)
1
∵17.54<18.6，
∴这条船不改变方向会有触礁危险。
【经典例题 2】如图，海中有一小岛 A，它周围 8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西
向东航行，在 B点测得小岛 A在北偏东 60°方向上，航行 12 海里到达 D点，这时测得
小岛 A在北偏东 30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
　　
【解析】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：
过点 A作AC BD⊥，垂足为 C.
根据题意可知∠ABD=30°，∠ADC=60°，
∵∠ADC= ABD+ BAD∠ ∠ ，
∴∠BAD=30°= ABD∠，
∴DB=DA=12，
在Rt ACD△中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，sin ADC=AC/AD∠，
∴sin60°=AC/12，
∴AC=12×sin60°=12× =6 = > =8，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险。
【经典例题 3】（2019 年宜宾市）如图 4所示，在某海滨城市 O附近海面有一股台风，
2
据监测，当时强台风中心位于该城市的东偏南 70°方向 200 千米的海面 P处，并以 20
千米/时的速度向西偏北 25°的PQ 方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前
半径为 60 千米，且圆的半径以 10 千米/时速度不断扩大。
（1）当台风中心移动 4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；当台风
中心移动 t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米。
（2）当台风中心移动到与城市 O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请
说明理由。（参考数据： ， ）
【解析】思路点拨：台风侵袭的范围是一个圆形区域，并且圆的半径不断扩大，圆心
还有移动现象。
解：（1） ，
（2）如图 所示，作 于点
在 中， ，则 ，
（千米）
∴ （千米）
设经过 t小时，台风中心从点 P移动到 H，则 ，解得：t= （小
时）
此时，受台风侵袭地区的圆的半径为： （千米）
台风中心在整个移动过程中与城市 相距的最近距离为 ， （千米）
3
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