《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题3一次函数—3.3一次函数应用题2购买销售利润问题

3.0 envi 2025-04-24 16 4 356.46KB 19 页 3知币

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一次函数应用题

问题一：购买费用

【经典例题 1】超市有 A，B两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子

用来分装 15 升油（瓶子都装满，日无剩油）；当日促销活动：购买 A型瓶 3个

或以上，一次性返还现金 5元.设购买 A型瓶 x（个），所需总费用为 y（元），

则下列说法不一定成立的是（ SS）

型号 A B

单个瓶子容量（升） 2 3

单价（元） 5 6

A.购买 B型瓶的个数是（5- x）为正整数时的值SSSSB.购买 A型瓶最

多为 6个

C.y 与x之间的函数关系式为 y=x+30 D.小张买瓶了的最少费用是 28 元

【解析】设购买 A型瓶 x个，

∵买瓶子用来分装 15 升油，瓶子都装满，且无剩油，

∴购买 B型瓶的个数是 15−2x3=5−23x，

∵瓶子的个数为自然数，

 x=0∴时,5−23x=5;x=3 时,5−23x=3;x=6 时,5−23x=1；

∴购买 B型瓶的个数是(5−23x)为正整数时的值，故 A成立；

由上可知，购买 A型瓶的个数为 0个或 3个或 6个，所以购买 A型瓶的个数最

多为 6，故 B成立；

设购买 A型瓶 x(个),所需总费用为 y(元),则购买 B型瓶的个数是(5−23x)个，

①当0 x<3⩽时,y=5x+6×(5−23x)=x+30，

 k=1>0∵，

 y∴随x的增大而增大，

∴当x=0 时，y有最小值，最小值为 30 元；

②当x 3⩾时,y=5x+6×(5−23x)−5=25+x，

 k=1>0∵，

 y∴随x的增大而增大，

∴当x=3 时，y有最小值，最小值为 28 元；

综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为 28 元。

故C不成立，D成立。

故答案为：C.

练习 1-1（2020•河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，

活动方案如下．

方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；

方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．

设某学生暑期健身 x（次），按照方案一所需费用为 y1（元），且 y1＝k1x+b；

按照方案二所需费用为 y2（元），且 y2＝k2x．其函数图象如图所示．

（1）求 k1和b的值，并说明它们的实际意义；

（2）求打折前的每次健身费用和 k2的值；

（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8次，应选择哪种方案所需费

用更少？说明理由．

【解析】（1）∵y1＝k1x+b 过点（0，30），（10，180），

∴ ，解得，

k1＝15 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为 15 元，

b＝30 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为 30 元；

（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为 15÷0.6＝25（元），

则k2＝25×0.8＝20；

（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：

由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．

当健身 8次时，

选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），

选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），

∵150＜160，

∴选择方案一所需费用更少．

练习 1-2（2020•德州）小刚去超市购买画笔，第一次花 60 元买了若干支 A型画

笔，第二次超市推荐了 B型画笔，但 B型画笔比 A型画笔的单价贵 2元，他又

花100 元买了相同支数的 B型画笔．

（1）超市 B型画笔单价多少元？

（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超

市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过 20 支，则每支 B型画笔打

九折；若一次购买超过 20 支，则前 20 支打九折，超过的部分打八折．设小刚

购买的 B型画笔 x支，购买费用为 y元，请写出 y关于 x的函数关系式．

（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用 270 元购买 B型画笔，则能购买多

少支 B型画笔？

【解析】（1）设超市 B型画笔单价为 a元，则 A型画笔单价为（a 2﹣ ）元．

根据题意得，，

解得 a＝5．

经检验，a＝5是原方程的解．

答：超市 B型画笔单价为 5元；

（2）由题意知，

当小刚购买的 B型画笔支数 x≤20 时，费用为 y＝0.9×5x＝4.5x，

当小刚购买的 B型画笔支数 x＞20 时，费用为 y＝0.9×5×20+0.8×5（x 20﹣ ）＝

4x+10．

所以，y关于 x的函数关系式为 y（其中 x是正整数）；

（3）当 4.5x＝270 时，解得 x＝60，

∵60＞20，

∴x＝60 不合题意，舍去；

当4x+10＝270 时，解得 x＝65，符合题意．

答：若小刚计划用 270 元购买 B型画笔，则能购买 65 支B型画笔．

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