《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题2方程与不等式—2.8分式方程5方案类

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分式及分式方程

确定方案——取整

【经典例题 5】某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上

了解到某种本子的单价比某种笔的单价少 4元，且用 30 元买这种本子的数量与

用50 元买这种笔的数量相同．

(1)求这种笔和本子的单价；

(2)该同学打算用自己的 100 元压岁钱购买这种笔和本子，计划 100 元刚好用完，

并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．

【解析】（1）设这种笔单价为 x元，则本子单价为(x-4)元，由题意得：

，

解得：x=10，

经检验：x=10 是原分式方程的解，

则x-4=6.

答：这种笔单价为 10 元，则本子单价为 6元；

（2）设恰好用完 100 元，可购买这种笔 m支和购买本子 n本，

由题意得：10m+6n=100，

整理得：m=10- n，

∵m、n都是正整数，

∴① n=5 时，m=7，② n=10 时，m=4，③ n=15，m=1；

∴有三种方案：

①购买这种笔 7支，购买本子 5本；

②购买这种笔 4支，购买本子 10 本；

③购买这种笔 1支，购买本子 15 本.

练习 1为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行 “阳光体育”活动，

河南省实验中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用

800 元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少 2个，足球的单价为篮

球单价的．

（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？

（2）学校计划用不多于 5200 元购买篮球、足球共 60 个，那么至少购买多少个

足球？

（3）在（2）的条件下，若篮球数量不能低过 15 个，那么有多少种购买方案？

哪种方案费用最少？最少费用是多少？

【解析】（1）设篮球的单价为 x元/个，则足球的单价为 0.8x元/个，

根据题意得：，

解得：x＝100，

经检验，x＝100 是原方程的解，

∴0.8x＝80．

答：篮球的单价为 100 元/个，足球的单价为 80 元/个．

（2）设购买 m个足球，则购买（60﹣m）个篮球，

根据题意得：80m+100（60﹣m）≤5200，解得：m≥40．

答：至少要购买 40 个足球；

（3）由题意得，60﹣m≥15，解得：m≤45，

∵m≥40，∴40≤m≤45，

∵m为整数，

∴m可取 40，41，42，43，44，45，共 6种购买方案；

分别为足球 40 个，篮球 20 个；足球 41 个，篮球 19 个；足球 42 个，篮球 18 个；

足球 43 个，篮球 17 个；足球 44 个，篮球 16 个；足球 45 个，篮球 15 个；

设总费用为 w元，由题意得，w＝80m+100（60﹣m）＝﹣20m+6000，

∵﹣20＜0，

∴w随着 m的增大而减小，

∴当m＝45 时，w最小＝5100，

答：买足球 45 个，篮球 15 个费用最少，最少费用是 5100 元．

练习 2为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买 A，B两种型号的污水

处理设备共 10 台．已知用 90 万元购买 A型号的污水处理设备的台数与用 75 万

元购买 B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下

表所示：

污水处理设备 A型B型

价格（万元/台） m m 3﹣

月处理污水量（吨/台） 220 180

（1）求 m的值；

（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过 156 万元，

问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．

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