《九年级数学下册基础过关演练讲义（北师大版）》专题10 垂径定理（解析版）

3.0 envi 2025-04-24 25 4 440.79KB 18 页 3知币
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一、垂径定理
知识点 1 圆的定义
定义 1：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A所形成
的图形叫做圆．固定的端点 O叫做圆心，线段 OA 叫做半径．以 O点为圆心的圆，记作
“⊙O”，读作“圆 O”．
定义 2：圆可以看做是所有到定点 O的距离等于定长 r的点的集合．
2.与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、
等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简
称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧
叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
3.圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
知识点 2 圆心角、弧、弦的关系
1.定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也 ．
2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的
“弧”是指同为优弧或劣弧．
3.正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，
三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆
心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
知识点 3垂径定理
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2.垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
1
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
一．选择题（共 9小题）
1．如图，⊙O的半径为 5，弦 AB＝8，点 C是AB 的中点，连接 OC，则 OC 的长为（
　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵⊙O的半径为 5，弦 AB＝8，点 C是AB 的中点，
∴OC⊥AB，AC＝BC＝4，OA＝5，
∴OC＝ ＝ ＝3，
故选：C．
2．小明家需购买一张大圆桌面（不能折叠，不考虑木板厚度），若入户门的高为 2.1 米，
宽为 1.1 米，则尽可能大的圆桌的直径可以是（　　）
A．2.45 米B．2.40 米C．2.35 米D．2.30 米
【解答】解：∵入户门的高为 2.1 米，宽为 1.1 米，
∴入户门对角线为： ≈2.37（米），
故选：C．
2
垂径定理的运用
3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画
描绘了筒车的工作原理，如图 1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，如图
2．已知圆心 O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦 AB 长为 6米，⊙O半径长为 4米．
若点 C为运行轨道的最低点，则点 C到弦 AB 所在直线的距离是（　　）
A．1米B．（4﹣ ）米 C．2米D．（4+ ）米
【解答】解：连接 OC 交AB 于D，连接 OA，
∵点 C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD 中，OD＝ ＝ ＝ （米），
∴点 C到弦 AB 所在直线的距离 CD＝OC﹣OD＝（4﹣ ）米，
故选：B．
4．如图，AB 为⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点 F，OE⊥AC 于点 E，若 OE＝3，OB＝5，则
CD 的长度是（　　）
3
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