《沪科版数学八年级下册同步分层练习第17章 一元二次方程》17.4　一元二次方程的根与系数的关系

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*17.4　一元二次方程的根与系数的关系
1．(2019·湖北黄冈中考)若x1，x2是一元二次方程 x2－4x－5＝0的两根，则 x1·x2的值为( A )
A．－5 B．5 C．－4 D．4
2．(2019·安徽安庆期末)下列方程中，满足两个实数根的和为 2的方程是( B )
A．2x2－4＝0 B．2x2－4x－1＝0
C．x2－2x＋2＝0 D．x2＋2 x－2＝0
3．(2019·湖北天门中考)若方程 x2－2x－4＝0的两个实数根为 α，β，则 α2＋β2的值为( A )
A．12 B．10 C．4 D．－4
4．(2019·山东淄博中考)若x1＋x2＝3，x＋x＝5，则以 x1，x2为根的一元二次方程是( A )
A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0
C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝0
5．已知关于 x的方程 x2＋px＋q＝0的两根为－3和1，则 q－p的值是__－ 5 __.
6．(教材 P39，练习，T3 改编)(2019·安徽蚌埠期中)若x＝－2是关于 x的方程 x2－2ax＋8＝0
的一个根，则方程的另一个根为__－ 4 __.
7．已知 x1，x2是方程 x2－x－3＝0的两根，则＋＝　－　.
8．若关于 x的一元二次方程 x2＋(m－2)x＋m2＝0的两个实数根互为倒数，则 m的值是__－
1__.
9．利用一元二次方程的根与系数的关系直接判断下列方程后括号中的两个数是否为原方程
的根：
(1)3x2＋5x－2＝0；
(2)x2－2x＋1＝0(＋1，－1)．
解：(1)∵－＋2＝≠－，∴－，2不是原方程的根．
(2)∵＋1＋－1＝2＝－，(＋1)×(－1)＝1＝，∴＋1，－1是原方程的根．
10．设 x1，x2是一元二次方程 2x2＋4x＝3的两根，利用根与系数的关系求下列代数式的值：
(1)(x1＋1)(x2＋1)；
(2)xx2＋ x1x；
(3)＋；
(4)(x1－x2)2.
解：方程变形为一般形式为 2x2＋4x－3＝0，
∴x1＋x2＝－＝－2，x1x2＝－.
(1)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋(－2)＋1＝－.
(2)xx2＋ x1x＝x1x2(x1＋x2)＝－×(－2)＝3.
(3)＋＝＝
＝＝－.
(4)(x1－x2)2＝x－2x1x2＋x＝x＋2x1x2＋x－4x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×＝10.
11．(2019·安徽安庆期末)已知关于 x的一元二次方程 x2＋(m＋2)x＋m－1＝0.
(1)求证：无论 m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当m为何值时，该方程的两个根的倒数之和等于 1.
解：(1)证明：Δ＝(m＋2)2－4×1×(m－1)＝m2＋8，
∵m2≥0，∴m2＋8＞0，即 Δ＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)设方程的两根为 a，b，
利用根与系数的关系，得 a＋b＝－m－2，ab＝m－1，
根据题意，得＋＝1，即＝1，解得 m＝－，∴当 m＝－时，该方程的两个根的倒数之和等于
1.
易错点　利用根与系数的关系求未知数时，易漏掉隐含条件“Δ≥0”
12．(2019·山东潍坊中考)关于 x的一元二次方程 x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和
为12，则 m的值为( A )
A．m＝－2　　　　 B．m＝3
C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝2
13．已知一元二次方程 2x2－5x＋1＝0的两个根为 x1，x2，下列结论正确的是( D )
A．x1＋x2＝－ B．x1·x2 ＝1
C．x1，x2都是有理数 D．x1，x2都是正数
14．(2019·安徽淮南寿县期中)已知，m，n是一元二次方程 x2－3x＋2＝0的两个实数根，则
2m2－4mn－6m的值为( A )
A．－12 B．10 C．－8 D．－10
15．(2018·安徽淮南实验中学课时作业)若方程 x2＋px＋2 015＝0有两个正整数根 x1，x2，则
的值是( C )
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