《初中数学七年级下学期》期末压轴题解答题三

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2020-2021 学年初中数学七年级下学期期末压轴题解答题三
1．如图，在 中， ， ， 是等边三角形，点 在边
上．
（1）如图 1，当点 在边 上时，求证 ；
（2）如图 2，当点 在 内部时，猜想 和 数量关系，并加以证明；
（3）如图 3，当点 在 外部时， 于点 ，过点 作 ，交线段
的延长线于点 ， ， ．求 的长．
2．某零食店有甲，乙两种糖果，它们的单价分别为 元 千克， 元 千克．
（1）若购买甲 5千克，乙 2千克，共花费 25 元，购买甲 3千克，乙 4千克，共花费 29 元．
①求 和 的值；
②甲种糖果涨价 元 千克 ，乙种糖果单价不变，小明花了 45 元购买了两种糖
果10 千克，那么购买甲种糖果多少千克？（用含 的代数式表示）；
（2）小王购买了数量一样的甲、乙两种糖果，小李购买了总价一样的甲、乙两种糖果，请
比较谁购买的平均价格更低．
1
3．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角
相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查
询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图 1、两个等腰三角形 和 中， ， ， ，
连接 、 、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两
个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中
和 全等的三角形是　　，此时 和 的数量关系是　　；
（2）如图 2、两个等腰直角三角形 和 中， ， ，
，连接 ， ，两线交于点 ，请判断线段 和 的数量关系
和位置关系，并说明理由；
（3）如图 3，已知 ，请完成作图：以 、 为边分别向 外作等边 和
等边 （等边三角形三条边相等，三个角都等于 ，连接 ， ，两线交于点 ，
并直接写出线段 和 的数量关系及 的度数．
4．我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星
2
图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿
（东南西北各七宿，图 1是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》．
小明学习了 平行线知识，画出 了“南方七宿之翼 ”的上半部分 （如图 ， ，
， ， ；
（1）当 ， ， ， 时，根据所学知识，可求得 　　；
（2）当 时，如图 2，猜想 ， ， 和 的数量关系　　；
（3）小明又发现，当 和 不平行时，则相交于点 ，得到 ，如图 3，如果
为定值，求 的值．
（备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分）
5．如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别是第三象限与第二象限内的
点，将， 两点先向右平移个单位，再向下平移1个单位得到 ， 两点（点 对应
点 ．
（1）写出 ， 两点的坐标；（用含相关字母的代数式表示）
（2）连接 ，过点 作 的垂线 ， 是直线 上一点，连接 ，且 的最小值为
1．
①若 ，求证：直线 轴；②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图
象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标 都是这个方程的一个解．
在①的条件下若关于 ， 的二元一次方程的图象经过点 ， 及点
，判断 与是否相等，并说明理由．
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