《备战中考数学临考题号押题（全国通用）》专题19 圆的证明与计算（解答题）（解析版）

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专题 19 圆的证明与计算
【2020 安徽】如图，AB 是半圆 O的直径，C，D是半圆 O上不同于 A，B的两点，AD＝
BC，AC 与BD 相交于点 F．BE 是半圆 O所在圆的切线，与 AC 的延长线相交于点 E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若 BE＝BF，求证：AC 平分∠DAB．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理
即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据
三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB 是半圆 O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA 与Rt△DAB 中， ，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，由（1）知 BC⊥EF，
∴∠E＝∠BFE，
∵BE 是半圆 O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
由（1）知∠D＝90°，
1
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFD＝∠E，
∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AC 平分∠DAB．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别
图形是解题的关键．
【2020 北京高级中学】如图， 为 的直径， 为 延长线上一点， 是 的
切线， 为切点， 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）连接 OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AOF＝∠B，
根据切线的性质得到∠CDO＝90°，等量代换即可得到结论；
（2）根据三角形中位线定理得到 OE＝BD＝×8＝4，设 OD＝x，OC＝3x，根据相似
三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）连接 OD，
2
∵AB 为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴∠AOF＝∠B，
∵CD 是⊙O的切线，D为切点，
∴∠CDO＝90°，
∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°，
∴∠CDA＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠AOF＝∠ADC；
（2）∵OF∥BD，AO＝OB，
∴AE＝DE，
∴OE＝BD＝×8＝4，
∵sinC＝ ＝ ，
∴设 OD＝x，OC＝3x，
∴OB＝x，
∴CB＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴ ，
3
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