《备战中考数学临考题号押题（全国通用）》专题17 二次函数应用（解答题）（解析版）

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专题 17 二次函数应用

【2020 玉林】已知抛物线与 x轴交于点 A，B两点（A在B的左

侧）与 y轴交于点 C．

（1）直接写出点 A，B，C的坐标；

（2）将抛物线经过向下平移，使得到的抛物线与 x轴交于 B，两点（在 B的

右侧），顶点 D的对应点，若，求的坐标和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点 Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点 P，使以

为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点 P的坐

标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B（3，0），y2=-x2+4x-

3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+ ，-3），（-1- ，-3），（0，-3），

（4，-3）．

【解析】

【分析】

（1）令 y=0，即可求出 A，B，令 x=0，即可求出 C的坐标；

（2）设 B（t，0），根据由题意得 y2由y1平移所得，可设 y2的解析式为：y2=-（x-

1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出 D，判断出△BD B 是等腰直角三角形，可得 yD=

|BB |，即可得到关于 t的方程，解出 t即可求出 B的坐标和 y2的解析式；

（3）分①若 Q在B右边，②若 Q在B左边：当 B Q 为边时和当 B Q 为对角线时，

这几种情况讨论即可．

【详解】

解：（1）由题意得抛物线与 x轴交于点 A，B两点（A在B的左

侧）与 y轴交于点 C，

∴当 y=0 时，

即（x+3）（1-x）=0

解得 x1=-3，x2=1，

∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），

当x=0 时，y=-02-2×0+3=3，

∴C的坐标为（0，3），

综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）；

（2）设 B（t，0），

由题意得 y2由y1平移所得，

∴a=-1，

∴可设 y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，

∴D（，），

∵B和B是对称点，D在对称轴上，∠BD B =90°，

∴△BD B 是等腰直角三角形，

∴yD= |BB |，

∴=（t-1），

解得 t=3，

∴B（3，0），

∴y2=-x2+4x-3；

（3）①若 Q在B右边，则 P在x轴上方，且 CP∥B Q，

∴yP=yC=3，

此时 P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；

②若 Q在B左边，

当B Q 为边时，则 CP∥B Q，

此时 yP=yC=3，P点在 y1上，

将yP=3，代入 y1得，

解得 x1=0，x2=-2，

∴此时 P的坐标为（-2，3）；

当B Q 为对角线时，则 B C∥QP，

∵yC-yB=3，

∴yQ-yP=3，

∵Q在x轴上，

∴yP=-3，

将yP=-3 代入 y1得，

解得 x1=-1+ ，x2=-1- ，

将yP=-3 代入 y2得-x2+4x-3=-3，

解得 x1=0，x2=4，

∴P的坐标为：（-1+ ，-3），（-1- ，-3），（0，-3），（4，-3），

综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+ ，-3），（-1- ，-3），（0，-3），

（4，-3）．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形

的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键．

【2020 安徽】在平面直角坐标系中，已知点 A（1，2），B（2，3），C（2，1），直

线y＝x+m经过点 A，抛物线 y＝ax2+bx+1 恰好经过 A，B，C三点中的两点．

（1）判断点 B是否在直线 y＝x+m上，并说明理由；

（2）求 a，b的值；

（3）平移抛物线 y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线 y＝x+m上，求平移后所得抛物

线与 y轴交点纵坐标的最大值．

【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点 B（2，3）在直

线y＝x+m上；

（2）因为直线经过 A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过

A、B点，即可判断抛物线只能经过 A、C两点，根据待定系数法即可求得 a、b；

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