《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》19.6 一次函数的应用（能力提升）

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第十九章 一次函数
19.6 一次函数的应用（能力提升）
【要点梳理】
要点一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建
模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽
象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环
节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
要点二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意
的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点诠释：
要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
要点三、选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过
比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决
实际问题中的重要作用.
【典型例题】
类型一、简单的实际问题
例 1、某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过 14
吨（含 14 吨），则每吨按政府补贴优惠价 m元收费；若每月用水量超过 14 吨，则超过部
分每吨按市场价 n元收费．小明家 3月份用水 20 吨，交水费 49 元；4月份用水 18 吨，交
水费 42 元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为 x吨，应交水费为 y元，请写出 y与x之间的函数关系式；
（3）小明家 5月份用水 26 吨，则他家应交水费多少元？
【思路点拨】先列方程组求 m 和 n，再根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段
的函数解析式．
【答案与解析】
1
解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为 m元，市场调节价为 n元．
，
解得： ，
答：每吨水的政府补贴优惠价 2元，市场调节价为 3.5 元．
（2）当 0≤x≤14 时，y=2x；
当x＞14 时，y=14×2+（x 14﹣）×3.5=3.5x 21﹣，
故所求函数关系式为：y= ；
（3）∵26＞14，
∴小明家 5月份水费为 3.5×26 21=﹣70(元)，
答：小明家 5月份水费 70 元．
【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合.分求某段解析式的方
法与求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结，并在各解析式后注明自变
量的取值范围.
举一反三：
【变式】如图 OB、AB 分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中
s
和
t
分别
表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①甲让乙先跑12 米；②甲的速度
比乙快1.5 米/秒；③ 8 秒钟内，乙在甲前面；④ 8 秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法
是（　　）
A．①② B．①②③④ C．②③ D．①③④
【答案】B；
提示：①由图形，
t
＝0 时，甲在乙前边 12 米，即甲让乙先跑12 米，故①正确；②当
t
＝8 秒时，甲追上了乙，所以甲的速度比乙快12÷8＝1.5 米/秒，故②正确；③ 8 秒钟内，
2
AB 在 OB 的上面，即可知乙在甲前面，故③正确；④ 8 秒钟后，AB 在 OB 的下面，即可知甲
超过了乙，故④正确．
故选择 B．
类型二、方案选择问题
例2、某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①购一个书包，赠送一支水性笔；②
购书包和水性笔一律按9 折优惠，书包每个定价 20 元，水性笔每支定价 5元，小丽和同学
需买 4 个书包，水性笔若干(不少于 4 支)．
(1)分别写出两种优惠方法购买费用
y
(元)与所买水性笔支数
x
(支)之间和函数关系式；
(2)对
x
的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
(3)小丽和同学需买这种书包4 个和水性笔12 支，请你设计怎样购买最经济．
【答案与解析】
解：(1)根据题意可得：
方案①购买费用
1
y
与购买水性笔支数
x
之间的函数关系式：
1
y
＝4×20＋5(
x
－4)＝5
x
＋60(
x
≥4)；
方案②购买费用
2
y
与购买水性笔支数
x
之间的函数关系式；
2
y
＝4×20×0.9＋5×0.9
x
＝4.5
x
＋72(
x
≥4)．
(2)在同一坐标系内分别画出
1
y
与
2
y
的图象，如图所示，由图象可知：
x
＝24 时，两个函数的函数值相等；
x
＞24 时，对同一个
x
，
1
y
上的点都在
2
y
上的点的上边即
1
y
＞
2
y
；
4≤
x
＜24 时，对同一个
x
，
2
y
上的点都在
1
y
上的点的上边即
1
y
＜
2
y
．
3
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