《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》19.5 一次函数与一元一次不等式（能力提升）

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第十九章 一次函数
19.5 一次函数与一元一次不等式（能力提升）
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为
ax b
＞0 或
ax b
＜0 或
ax b
≥0 或
ax b
≤0（
a
、
b
为常数，
a
≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函
数
y ax b 
的值大于 0（或小于 0 或大于等于 0 或小于等于 0）时求相应的自变量的取值
范围.
要点诠释：
求关于
x
的一元一次不等式
ax b
＞0（
a
≠0）的解集，从“数”的角度看，就是
x
为何值时，函数
y ax b 
的值大于 0？从“形”的角度看，确定直线
y ax b 
在
x
轴
（即直线
y
＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
要点二、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式
的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
要点三、如何确定两个不等式的大小关系
ax b cx d 
（
a
≠
c
，且
）的解集
y ax b 
的函数值大于
y cx d 
的函数值时的自变量
x
取值范围
直线
y ax b 
在直线
y cx d 
的上方对应的点的横
坐标范围．
【典型例题】
类型一、一次函数与一元一次不等式
例 1 、 已 知 一 次 函 数
y ax b 
的 图 象 过 第 一 、 二 、 四 象 限 ， 且 与
x
轴 交 于 点
（2，0），则关于
x
的不等式
 
1a x b 
＞0 的解集为（　　）
1
A．
x
＜－1 B．
x
＞－1 C．
x
＞1 D．
x
＜1
【答案】A；
【解析】∵一次函数
y ax b 
的图象过第一、二、四象限，∴
b
＞0，
a
＜0，
把（2，0）代入解析式
y ax b 
得：0＝2
a
＋
b
，
解得：
b
a
＝－2，∵
 
1a x b 
＞0，
∴
 
1a x b 
，
∴
x
－1＜
b
a
，
∴
x
＜－1，
【总结升华】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，
一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式等的理解和掌握，能根据一次函数的性
质得出
a
、
b
的正负，并正确地解不等式是解此题的关键．
举一反三：
【变式】如图，直线
y kx b 
与坐标轴的两个交点分别为 A（2，0）和 B（0，－
3），则不等式
kx b
＋3≥0 的解集是（　　）
A．
x
≥0 B．
x
≤0 C．
x
≥2 D．
x
≤2
【答案】A；
提示：从图象上知，直线
y kx b 
的函数值
y
随
x
的增大而增大，与
y
轴的交点为
B（0，－3），即当
x
＝0 时，
y
＝－3，所以当
x
≥0 时，函数值
kx b
≥－3．
例 2、已知：一次函数 y=kx+b 中，当自变量 x=3 时，函数值 y=5；当 x=﹣4 时，y=﹣
9．
（1）求这个一次函数解析式；
2
（2）解关于 x 的不等式 kx+b≤7 的解集．
【思路点拨】（1）把两组对应值分别代入 y=kx+b 得到关于 k、b 的方法组，然后解方
程组求出 k 和 b，从而可确定一次函数解析式；（2）解一元一次不等式 2x﹣1≤7 即可．
【答案与解析】
解：（1）根据题意得 ，解得 ，
所以一次函数解析式为 y=2x﹣1；
（2）解 2x﹣1≤7 得 x≤4．
【总结升华】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如
求一次函数的解析式时，先设 y=kx+b；将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值代入所
设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，
进而写出函数解析式．
举一反三：
【变式】如图，直线 y=kx+b 经过 A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，
（1）求直线 y=kx+b 的表达式；
（2）求不等式 x＞kx+b＞﹣2 的解集．
【答案】解：（1）∵直线 y=kx+b 经过 A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，
∴代入得： ，
解得：k=1，b=﹣1．
∴直线 y=kx+b 的表达式为 y=x﹣1；
（2）由（1）得： x＞x﹣1＞﹣2，
即 ，
解得：﹣1＜x＜2．
3
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