《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》19.4 一次函数与一次方程（组）（能力提升）

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第十九章 一次函数
19.4 一次函数与一次方程（组）（能力提升）
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次方程的关系
一次函数
y kx b 
（
k
≠0，
b
为常数）.当函数
y
＝0 时，就得到了一元一次方程
0kx b 
，此时自变量
x
的值就是方程
kx b
＝0 的解.所以解一元一次方程就可以转化
为：当某一个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值.
　　从图象上看，这相当于已知直线
y kx b 
（
k
≠0，
b
为常数），确定它与
x
轴交点
的横坐标的值.
要点二、一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，
解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从
“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
要点诠释：
　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，
两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组
的解为坐标的点一定是相应的两个 一次函数的图象的交点 .如一次函数
2 4y x 
与
3 13
2 2
y x 
图象的交点为(3，－2)，则 就是二元一次方程组
的解.
　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点
则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程
组就无解.如二元一次方程组 无解，则一次函数
3 5y x 
与
3 1y x 
的图
1
象就平行，反之也成立.
　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合
反之也成立.
要点三、方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的
解的个数．
【典型例题】
类型一、一次函数与一元一次方程
例 1、方程
3 2 8x 
的解是
x
＝______，则函数
3 2y x 
在自变量
x
等于_______
时的函数值是 8.
【答案】2；2；
【解析】解方程
3 2 8x 
得到：
2x
.函数
3 2y x 
的函数值是 8．即
3 2 8x 
即函数
3 2y x 
在自变量
x
等于 2 时的函数值是 8．
【总结升华】本题主要考查了一元一次方程与一次函数的关系．任何一元一次方程都
可以转化为
0ax b 
（
a
，
b
为常数，
a
≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：
当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线
y ax b 
确定它与
x
轴的交点的横坐标的值．
举一反三：
【变式】直线 y=2x+3 与坐标轴围成的面积是（　　）
A． B．3 C． D．6
【答案】C．
解：如图，设直线与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，
2
在 y=2x+3 中，令 y=0，可得 2x+3=0，解得 x=﹣ ，令 x=0，可得 y=3，
∴A（- ，0），B（0，3），
∴OA= ，OB=3，
∴S△AOB= OA•OB= × ×3= ，
故选 C．
类型二、一次函数与二元一次方程组
例 2、直线 l1：y=x+1与直线 l2：y=mx+n的交点 P的横坐标为 1，则下列说法错误的是
（　　）
A．点 P的坐标为（1，2）
B．关于 x、y的方程组 的解为
C．直线 l1中，y随x的增大而减小
D．直线 y=nx+m也经过点 P
【思路点拨】把x=1 代入 y=x+1，得出 y的值，再判断即可．
【答案与解析】
解：把 x=1 代入 y=x+1，y=2，
所以 A、点 P的坐标为（1，2），正确；
B、关于 x、y的方程组 的解为 ，正确；
C、直线 l1中，y随x的增大而增大，错误；
D、直线 y=nx+m也经过点 P，正确；
故选 C.
【总结升华】此题主要考查了两直线相交问题，解决本题的关键是求出直线经过的点
3
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