《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》19.4 一次函数与一次方程（组）（基础巩固）

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第十九章 一次函数
19.4 一次函数与一次方程（组）（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次方程的关系
一次函数
y kx b 
（
k
≠0，
b
为常数）.当函数
y
＝0 时，就得到了一元一次方程
0kx b 
，此时自变量
x
的值就是方程
kx b
＝0 的解.所以解一元一次方程就可以转化
为：当某一个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值.
　　从图象上看，这相当于已知直线
y kx b 
（
k
≠0，
b
为常数），确定它与
x
轴交点
的横坐标的值.
要点二、一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，
解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从
“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
要点诠释：
　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，
两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组
的解为坐标的点一定是相应的两个 一次函数的图象的交点 .如一次函数
2 4y x 
与
3 13
2 2
y x 
图象的交点为(3，－2)，则 就是二元一次方程组
的解.
　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点
则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程
组就无解.如二元一次方程组 无解，则一次函数
3 5y x 
与
3 1y x 
的图
1
象就平行，反之也成立.
　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合
反之也成立.
要点三、方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的
解的个数．
【典型例题】
类型一、一次函数与一元一次方程
例 1、如图，直线 y=ax+b 过点 A（0，2）和点 B（﹣3，0），则方程 ax+b=0 的解是（
）
A．x=2 B．x=0 C．x= 1 ﹣ D．x= 3﹣
【答案】D.
【解析】解：方程 ax+b=0 的解，即为函数 y=ax+b 图象与 x轴交点的横坐标，
∵直线 y=ax+b 过B（﹣3，0），
∴方程 ax+b=0 的解是 x= 3﹣，
故选 D.
【总结升华】当函数
0y
时，就得到了一元一次方程 ax+b=0，此时自变量
x
的值就
是方程 ax+b=0 的解.
举一反三：
【变式 1】如图，已知直线
y ax b 
，则关于
x
的方程
1ax b 
的解
x
＝_________.
2
【答案】4；
提示：根据图形知，当
y
＝1 时，
x
＝4，即
1ax b 
时，
x
＝4．∴方程
1ax b 
的解
x
＝4．
【变式 2】如图，直线 y=kx+1（k≠0）经过点 A．
（1）求 k的值；
（2）求直线与 x轴，y轴的交点坐标．
【答案】解：（1）把 A（1，3）代入 y=kx+1 得k+1=3，解得 k=2；
（2）直线解析式为 y=2x+1，
令y=0 得，2x+1=0，解得 x=﹣
所以直线与 x轴交点坐标为（﹣ ，0）；
令x=0 得，y=1，
所以直线与 y轴交点坐标为（0，1）．
类型二、一次函数与二元一次方程组
例 2、如图，直线 y= 2x+1﹣ 与 x轴、y轴分别交于 A，B两点，将△OAB 绕点 O逆时
针方向旋转 90°后得到△OCD．
（1）填空：点 A的坐标是（　 　 ，　 　 ），点 B的坐标是（　 　 ，　 　 ）．
（2）设直线 CD 与AB 交于点 M，求 SBCM△的值．
3
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