《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》19.2 正比例函数（能力提升）
第十九章 一次函数
19.2 正比例函数（能力提升）
【要点梳理】
要点一、正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如
y kx
（
k
为常数，且
k
≠0）的函数，叫做正比例函数.其中
k
叫做
比例系数.
2、正比例函数的等价形式
（1）、
y
是
x
的正比例函数；
（2）、
y kx
（
k
为常数且
k
≠0）；
（3）、若
y
与
x
成正比例；
（4）、
k
x
y
（
k
为常数且
k
≠0）.
要点二、正比例函数的图象与性质
正比例函数
y kx
（
k
是常数，
k
≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为
直线
y kx
.当
k
＞0 时，直线
y kx
经过第一、三象限，从左向右上升，即随着
x
的增
大
y
也增大；当
k
＜0 时，直线
y kx
经过第二、四象限，从左向右下降，即随着
x
的增
大
y
反而减小.
要点三、待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数
y kx
（
k
为常数，
k
≠0 ）中只有一个待定系数
k
，故只要有一对
x
，
y
的值或一个非原点的点，就可以求得
k
值.
1
【典型例题】
类型一、正比例函数的定义
例 1、若函数
2 2
4 3 2
m n
y x m n
是
y
关于
x
的正比例函数，求
m
、
n
的值.
【思路点拨】正比例函数的一般式为
( 0)y kx k
，要特别注意定义满足
0k
，
x
的指数为 1．
【答案与解析】
解：由题意，得
2 2 1
3 2 0
m n
m n
解得
1
1.5
m
n
∴当
1, 1.5m n
时，
y
是
x
的正比例函数.
【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）
k
不等于
零；（2）
x
的指数是 1.
举一反三：
【变式】x、y 是变量，且函数 y=（k+1）x|k|是正比例函数，求 K 的值．
【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．
例 2、设有三个变量
x
、
y
、
z
，其中
y
是
x
的正比例函数，
z
是
y
的正比例函数
（1）求证：
z
是
x
的正比例函数；
（2）如果
z
＝1，
x
＝4 时，求出
z
关于
x
的函数关系式.
【答案与解析】
解：（1）由题意，设
1 1
( 0)y k x k
，
2 2
( 0)z k y k
，
1 2
,k k
为常数
1 2
z k k x∴
1 2
0, 0k k
∴
1 2 0k k
且为常数
∴
z
是
x
的正比例函数；
1 2
z k k x∴
1 2
( 0)k k
（2）当
z
＝1，
x
＝4 时，代入
1 2
z k k x
∴
1 2
1
4
k k
∴
z
关于
x
的函数关系式是
1
4
z x
.
2
【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的
1 2
,k k
，不要都设为
k
，
产生混淆.
举一反三：
【变式】已知
z m y
，
m
是常数，
y
是
x
的正比例函数，当
x
＝2 时，
z
＝1；当
x
＝3 时，
z
＝－1，求
z
与
x
的函数关系．
【答案】
解：由题意，
y kx
，
z m kx
,
∵
x
＝2 时，
z
＝1；当
x
＝3 时，
z
＝－1，
∴1＝
m
＋2
k
，－1＝
m
＋3
k
解得
k
＝－2，
m
＝5
∴
z
＝－2
x
＋5.
类型二、正比函数的图象和性质
例 3、若函数 y=（m 1﹣ ）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限．
【思路点拨】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且 m 1≠0﹣ ，计算出 m的值，然后可
得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．
【答案与解析】
解：由题意得：|m|=1，且 m 1≠0﹣ ，
解得：m= 1﹣ ，
函数解析式为 y= 2x﹣ ，
∵k= 2﹣ ＜0，
∴该函数的图象经过第二、四象限．
【总结升华】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如 y=kx（k是
常数，k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数 y=kx（k是常数，k≠0），当 k＞0时，直
线y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当 k＜0时，直线
y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
举一反三：
【变式】已知正比例函数
2 1y t x
的图象上一点（
1
x
，
1
y
），且
1
x
1
y
＜0，那么
t
的取值范围是（ ）
A.
t
＜
1
2
B．
t
＞
1
2
C．
t
＜
1
2
或
t
＞
1
2
D．不确定
3
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