《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》19.1 变量与函数

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第十九章 一次函数
19.1 变量与函数
【要点梳理】
要点一、变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某
个变化过程而言的.例如， ，速度 60 千米/时是常量，时间 和里程 为变量.
要点二、函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数.
要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量 的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于 允许取的每一个值， 是否都有
唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量 的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量 的取
值范围有时容易忽视，这点应注意.
要点三、函数值
是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
要点诠释：
对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值
对应的自变量可以是多个.比如： 中，当函数值为 4 时，自变量 的值为±2.
要点四、自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
要点诠释：
自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
1
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为
零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
要点五、函数的几种表达方式：
　　变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
要点诠释：
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽
象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应
值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法
可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以
充当重要角色.
要点六、函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐
标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：
由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应
注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值
太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
【典型例题】
类型一、变量与函数
例 1、下列等式中， 是 的函数有（ ）
A .1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个
2
【答案】C；
【解析】要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义 .对于
当 取 2， 有两个值± 和它对应，对于 ，当 取 2， 有两个值±2 和它对应，
所以这两个式子不满足函数的定义的要求： 都有唯一确定的值与 对应，所以不是函数，
其余三个式子满足函数的定义，故选 C.
【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定
的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数.抓住函数
定义中的关键词语“ 都有唯一确定的值”， 与 之间的对应，可以是“一对一”，也
可以是“多对一”，不能是“一对多”.
举一反三：
【变式】下列函数中与
xy
表示同一函数的是（ ）
A.
xy
B.
x
x
y
2
C.
2
)( xy
D.
3 3
xy
【答案】D；
提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.
例 2、如图所示，下列各曲线中表示 是 的函数的有( )．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】 C；
【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，
④不构成函数关系．
【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，
另一个变量就有唯一的一个值与其对应．
类型二、函数解析式
例 3、求出下列函数中自变量 的取值范围
3
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