《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》18.4 正方形（基础巩固）

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第十八章 平行四边形
18.4 正方形（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，
更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为
四个等腰直角三角形.
要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角
是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角
线互相垂直（即菱形）.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
1
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、正方形的性质
例 1、如图，有一平行四边形 ABCD 与一正方形 CEFG，其中 E点在 AD 上．若
∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（　　）
A．50 B．55 C．70 D．75
【思路点拨】由平角的定义求出∠CED 的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，
再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
【答案】C．
【解析】
解：∵四边形 CEFG 是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180° 15° 90°=75°﹣ ﹣ ，
∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180° 75° 35°=70°﹣ ﹣ ，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．
故选 C．
【总结升华】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知
识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问
2
题的关键．
举一反三：
【变式 1】已知：如图，E 为正方形 ABCD 的边 BC 延长线上的点，F 是 CD 边上一点，且
CE＝CF，连接 DE，BF．求证：DE＝BF．
【答案】
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°
∵E 为 BC 延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE．
在△BCF 和△DCE 中，
BC DC
BCF DCE
CF CE
 
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF＝DE．
【变式 2】如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于点 F，则
∠BFC 为（　　）
A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B；
提示：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
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