《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》18.3 菱形（能力提升）

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第十八章 平行四边形
18.3 菱形（能力提升）
【要点梳理】
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形 .② 有一组邻边相等.即菱形是一
个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对
称中心.
要点诠释：
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完
全全等的两部分.
（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底 ×高；另一种是
两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂
直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点诠释：
前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四
边形的基础上加上四条边相等.
【典型例题】
类型一、菱形的性质
例 1 、 如 图 所 示 ， 菱 形 ABCD 中 ， E 、 F 分 别 是 BC 、 CD 上 的 点 ， ∠ B ＝ ∠ EAF ＝
1
60°，∠BAE＝18°．求∠CEF 的度数．
【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF 的度数，只要
求出∠AEF 的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF 为等边三角形，从而
∠AEF＝60°．
【答案与解析】
解：连接 AC．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．
又∵ ∠B＝60°，
∴ △ABC 是等边三角形．
∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴ ∠ACF＝∠B＝60°．
又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°
∴ ∠BAE＝∠CAF．
∴ △ABE≌△ACF．
∴ AE＝AF．
∴ △AEF 为等边三角形．
∴ ∠AEF＝60°．
又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，
∴ ∠CEF＝18°．
【总结升华】当菱形有一个内角为 60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角
形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．
例 2、如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P为对角线 BD 上一动
点，则 EP+FP 的最小值为（　　）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】作F点关于 BD 的对称点 F′，则 PF=PF′，由两点之间线段最短可知当
E、P、F′在一条直线上时，EP+FP 有最小值，然后求得 EF′的长度即可．
【答案】C．
【解析】
解：作 F点关于 BD 的对称点 F′，则 PF=PF′，连接 EF′交BD 于点 P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当 E、P、F′在一条直线上时，EP+FP 的值最小，此时
EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形 ABCD 为菱形，周长为 12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形 AEF′D 是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP 的最小值为 3．
故选：C．
【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当
E、P、F′在一条直线上时 EP+FP 有最小值是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E是AB 的中点，如
果EO=2，求四边形 ABCD 的周长．
【答案】
解：∵四边形 ABCD 为菱形，
∴BO=DO，即 O为BD 的中点，
又∵E是AB 的中点，
3
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