《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》18.2 矩形（基础巩固）

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第十八章平行四边形

18.2 矩形（基础巩固）

【要点梳理】

要点一、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是

一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直

线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交

点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可

以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；

从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判

定平行四边形是矩形.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直

角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角

边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

【典型例题】

类型一、矩形的性质

例 1、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，M，N 分别是 AB，CD 的中点，P 是 AD 上的

点，且∠PNB=3∠CBN．

（1）求证：∠PNM=2∠CBN；

（2）求线段 AP 的长．

【思路点拨】（1）由 MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和

差不难得出结论；

（2）连接 AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知

∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由 AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等

边得到 AP=PN，再用勾股定理列方程求出 AP．

【答案与解析】

解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，M，N 分别是 AB，CD 的中点，

∴MN∥BC，

∴∠CBN=∠MNB，

∵∠PNB=3∠CBN，

∴∠PNM=2∠CBN；

（2）连接 AN，

根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，

∵MN∥AD，

∴∠PAN=∠ANM，

由（1）知∠PNM=2∠CBN，

∴∠PAN=∠PNA，

∴AP=PN，

∵AB=CD=4，M，N 分别为 AB，CD 的中点，

∴DN=2，

设 AP=x，则 PD=6﹣x，

在 Rt△PDN 中

PD2+DN2=PN2，

∴（6﹣x）2+22=x2，

解得：x=

所以 AP= ．

【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，

根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现 AP=PN 是解决问题的关键．

举一反三：

【变式】如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 P 为 AB 边上任一点，过 P

分别作 PE⊥AC 于 E，PF⊥BC 于 F，则线段 EF 的最小值是　 _________ 　．

【答案】；

提示：因为 ECFP 为矩形，所以有 EF＝PC.PC 最小时是直角三角形斜边上的高.

类型二、矩形的判定

例 2、已知：平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 AF、CE.

（1）求证：△BEC≌△DFA；

（2）连接 AC，若 CA＝CB，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论.

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