《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》17.2 勾股定理逆定理（能力提升）

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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理逆定理（能力提升）
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长
a b c， ，
，满足
2 2 2
a b c 
，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：
（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为
直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如
c
）.
（2） 验证
2
c
与
2 2
a b
是否具有相等关系.若
2 2 2
c a b 
，则△ABC 是∠C＝90°的
直角三角形；若
2 2 2
c a b 
，则△ABC 不是直角三角形.
要点诠释：
当
2 2 2
a b c 
时，此三角形为钝角三角形；当
2 2 2
a b c 
时，此三角形为锐角三角
形，其中
c
为三角形的最大边.
要点三、互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，
则另一个叫做它的逆命题.
要点诠释：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题
我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
要点四、勾股数
满足不定方程
2 2 2
x y z 
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯
数），显然，以
为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
1 3、4、5； ② 5、12、13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 9、40、41……
1
如果
a b c、 、
是勾股数，当
t
为正整数时，以
at bt ct、 、
为三角形的三边长，此三角
形必为直角三角形.
要点诠释：
（1）
2 2
1 2 1n n n ， ，
（
1,n n
是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）
2 2
2 2 , 2 1, 2 2 1n n n n n  
（
n
是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3）
2 2 2 2
, , 2m n m n mn 
（
,m n m n、
是自然数）是直角三角形的三条边长；
【典型例题】
类型一、原命题与逆命题
例 1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）如果
2x
，那么
2
4x
；
（3）等腰三角形两底角相等；
（4）全等三角形的对应角相等．
（5）对顶角相等．
（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【思路点拨】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，
判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可．
【答案与解析】
解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．
（2）逆命题是：如果
2
4x
，那么
2x
，它是假命题．
（3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题．
（4）逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题．
（5）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题．
（6）逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命
题．
【总结升华】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论
交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论．每一个命题都
2
有逆命题，其中有真命题，也有假命题．
举一反三：
【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（ ）
①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边
a b c， ，
满足
2 2 2
a b c 
，
则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若
a b
，则
2 2
a b
．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B；
提示：①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是：若三角形
是直角三角形，则三边满足
2 2 2
a b c 
（
c
为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一
定全等；④若
2 2
a b
，
a
与
b
不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题，不可能是定理．
类型二、勾股定理逆定理的应用
例 2、如图所示，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝
2 3
，CD＝3，BC＝5，求
∠ADC 的度数．
【答案与解析】
解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°，
在 Rt△ABD 中，
2 2 2 2 2
2 (2 3) 16BD AB AD  
．
∴ BD＝4，
∴
1
2
AB BD
，可知∠ADB＝30°，
在△BDC 中，
2 2 2
16 3 25BD CD  
，
2 2
5 25BC  
，
3
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