《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》17.1 勾股定理（能力提升）

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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a b，
，斜边长为
c
，那么
2 2 2
a b c 
.
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建
立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
2 2 2
a c b 
，
2 2 2
b c a 
，
 
2
2
2c a b ab 
.
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
　　　 图（1）中 ，所以 .
　　　　　
　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
　　　　 　　图（2）中 ，所以 .
　　　　　　
1
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
　　　　　　
　　　　 ，所以 .
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为 的线段.
【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
例 1、如图所示，在多边形 ABCD 中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，
求多边形 ABCD 的面积．
【答案与解析】
解：延长 AD、BC 相交于点 E
∵ ∠B＝90°，∠A＝45°
∴ ∠E＝45°，∴ AB＝BE＝2
∵ ∠ADC＝90°，∴ ∠DCE＝45°，
∴ CD＝DE＝1
∴
12 2 2
2
ABE
S  
△
，
1 1
1 1
2 2
DCE
S  
△
．
∴
1 3
22 2
ABE DCE
ABCD
S S S  
△ △
四边形
．
2
【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、
正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，
解决面积问题．
举一反三：
【变式】已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求 AC、AB 的长．
【答案】
解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 交 CB 的延长线于 D，
在△ABC 中，∵S△ABC=3，BC=2，
∴AD= = =3，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=180°﹣135°=45°，
∴AB= AD=3 ，
BD=AD=3，
在 Rt△ADC 中，CD=2+3=5，
由勾股定理得，AC= = = ．
例 2、已知直角三角形斜边长为 2，周长为
，求此三角形的面积．
【思路点拨】欲求 Rt△的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为
6
，结合勾股定理又得其平方和为 4，于是可转化为用方程求解．
【答案与解析】
3
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