《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》16.2 二次根式的乘除（基础巩固）

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第十六章二次根式

16.2 二次根式的乘除（基础巩固）

【要点梳理】

知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根

1.乘法法则：（ ≥0， ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，

只把被开方数相乘.

要点诠释：

(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a、b 都必须是非负

数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

≥0， ≥0，….. ≥0）.

(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如 .

2.积的算术平方根:

　　（ ≥0， ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的

积.

要点诠释：

(1)在这个性质中，a、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须

满足 ≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意

义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有

形式的 a 移到根号外面.

知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根

1.除法法则：（ ≥0， >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被

开方数相除.。

要点诠释：

　　(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意，

≥0， >0，因为 b 在分母上，故 b 不能为 0.

　　(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化

简，最后结果中分母不能带根号.

2.商的算术平方根的性质:

　　（ ≥0， >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的

算术平方根.

要点诠释：

　　运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.

知识点三、最简二次根式

（1）被开方数不含有分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：

（1) 被开方数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式.

【典型例题】

类型一、二次根式的乘除法

例 1．(1) × ；　(2) × ； (3) ； (4) ；

【答案与解析】(1) × = ；

(2) × = = ；

(3) = = =2；

(4) = = ×2=2 .

　【总结升华】直接利用计

算即可．

举一反三：

　【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1) ；

(2) × =4× × =4 × =4 =8 .

　【答案】(1)不正确．

改正： = ＝ × =2×3=6；

(2)不正确．

改正： × = × = = = ＝4 .

例 2.计算：（1） 4 ÷（﹣ ）×．

（2）计算： ÷ × ．

【思路点拨】做二次根式的乘除时要注意计算法则，根号外和根号内的因式分别相乘

除，最终计算结果要化为最简形式.

【答案与解析】解：（1）原式= 2﹣÷ ×

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