《八年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）》专题09 分式方程与应用（知识点串讲）（解析版）

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专题 09 分式方程与应用
知识网络
重难突破
知识点一 分式方程的解法
1、分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
特征：分母中含有未知数.
注意：
整式方程与分式方程的异同点：
①都是方程，都含有未知数；
②整式方程中的未知数一定不在分母中出现，而分式方程中的分母中一定含有未知数；
2、解分式方程的一般步骤
（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解整式方程，得到整式方程的解；
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母等于 0 的解是原分式方程的增根，使最简公分
母不等于 0 的解是原分式方程的根．
1
典例 1
（2020 春•泰兴市校级期中）解方程 ．
【解答】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
经检验 是增根，分式方程无解．
典例 2
（2021•成都）分式方程 的解为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：分式方程整理得： ，
去分母得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
分式方程的解为 ．
故选： ．
典例 3
（2020•营口模拟）若方程 的根为正数，则 的取值范围是 　　
A．B．C．D． 且
【解答】解：方程两边都乘以 得： ，
，
，
，
方程 的根为正数，
，
解得： ，
分式方程的解为正数，
2
， ，
， ，
即 的范围是 ，
故选： ．
知识点二 方程增根、无解问题
1、增根：使原分式方程的分母为零的根叫分式方程的增根.
2、增根产生的原因，解分式方程的第一步是“去分母”，而在分式中当分母的值为 0时，分式无意义，所
以在分式方程中，未知数的值不能使分母为 0，即分式方程本身就隐含着分母不为 0的条件，当把分式方
程转化为整式方程后，这个限制条件取消了，未知数允许值的范围扩大了，如果转化后的方程的根恰好是
原方程未知数允许值范围之外的值，那么这个值就是原方程的增根.
注意：分式方程的增根必须满足两个条件：
①增根使最简公分母为 0；②增根是分式方程化成的整式方程的根.
3、无解
（1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x=1”的形式，即整式方程无解；
（2）整式方程求得的根使得原分式方程的最简公分母等于 0，即求得的根为增根.
典例 1
（2020 春•龙泉驿区期中）如果关于 的分式方程 有增根，则 的值为 　　
A．B．3 C．4 D．10
【解答】解：去分母得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入整式方程得： ．
故选： ．
典例 2
（2020 春•仪征市期中）若关于 的方程 无解，则 的值为　　．
【解答】解：方程整理得 ，
当 ，即 时，方程无解，
3
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