《【临门一脚】中考数学三轮冲刺过关（全国通用) 》预测14 二次函数与动点的综合(解析版）
预测 14 二次函数与动点的综合
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 一个动点或两个动点与其它知识的综合运用
二次函数与动点的综合是初中数学的重点内容，也是各地中考考查的一个热点！往往作为大家
所说的压轴题，其难度和重要性不言而喻。
1．从考点频率看，一个动点或两个动点与其它知识的综合运用是高频考点。
2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约 11 分。
1. “动点型问题”的基本类型。
① 特殊四边形为背景；
② 点动带线动得出动三角形；
③ 探究动三角形的问题（相似、等腰三角形、面积）；
④ 求直线、抛物线的解析式；
⑤ 探究存在性问题。
2. “动点型问题”的解决方法。
解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、
不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题。
【要点诠释】 根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质、判定、定理知识确定二次函
数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角形、
四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题。
1
动态几何特点---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊
的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置）。有
时还会有 2 个点沿不同方向，以不同的速度去运动，此类题只要“动中求静”。
1．（2020 年苏州中考）如图，已知∠
MON
＝90°，
OT
是∠
MON
的平分线，
A
是射线
OM
上一点，
OA
＝
8
cm
．动点
P
从点
A
出发，以 1
cm
/
s
的速度沿
AO
水平向左作匀速运动，与此同时，动点
Q
从点
O
出发，也以 1
cm
/
s
的速度沿
ON
竖直向上作匀速运动．连接
PQ
，交
OT
于点
B
．经过
O
、
P
、
Q
三点
作圆，交
OT
于点
C
，连接
PC
、
QC
．设运动时间为
t
（
s
），其中 0＜
t
＜8．
（1）求
OP
+
OQ
的值；
（2）是否存在实数
t
，使得线段
OB
的长度最大？若存在，求出
t
的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形
OPCQ
的面积．
【分析】（1）由题意得出
OP
＝8﹣
t
，
OQ
＝
t
，则可得出答案；
（2）如图，过点
B
作
BD
⊥
OP
，垂足为
D
，则
BD
∥
OQ
．设线段
BD
的长为
x
，则
BD
＝
OD
＝
x
，
OB
BD x
，
PD
＝8﹣
t
﹣
x
，得出 ，则 ，解出
x
．
由二次函数的性质可得出答案；
（3）证明△
PCQ
是等腰直角三角形．则
S
△
PCQ PC
•
QC PQ PQ
2．在
Rt△
POQ
中，
PQ
2＝
OP
2+
OQ
2＝（8﹣
t
）2+
t
2．由四边形
OPCQ
的面积
S
＝
S
△
POQ
+
S
△
PCQ
可得出答案．
【解析】（1）由题意可得，
OP
＝8﹣
t
，
OQ
＝
t
，
∴
OP
+
OQ
＝8﹣
t
+
t
＝8（
cm
）．
（2）当
t
＝4 时，线段
OB
的长度最大．
2
如图，过点
B
作
BD
⊥
OP
，垂足为
D
，则
BD
∥
OQ
．
∵
OT
平分∠
MON
，
∴∠
BOD
＝∠
OBD
＝45°，
∴
BD
＝
OD
，
OB BD
．
设线段
BD
的长为
x
，则
BD
＝
OD
＝
x
，
OB BD x
，
PD
＝8﹣
t
﹣
x
，
∵
BD
∥
OQ
，
∴ ，
∴ ，
∴
x
．
∴
OB
．
当
t
＝4 时，线段
OB
的长度最大，最大为 2
cm
．
（3）∵∠
POQ
＝90°，
∴
PQ
是圆的直径．
∴∠
PCQ
＝90°．
∵∠
PQC
＝∠
POC
＝45°，
∴△
PCQ
是等腰直角三角形．
∴
S
△
PCQ PC
•
QC PQ PQ
2．
3
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