《【临门一脚】中考数学三轮冲刺过关（全国通用) 》预测13 二次函数与特殊三角形和特殊四边形的综合(解析版）
预测 13 二次函数与特殊三角形和特殊四边形的综合
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测
①与直角三角形有关的二次函数。
②与平行四边形有关的二次函数。
二次函数是全国中考的热点，也是每年必考的！全国各地的中考数学试题都把二次函数作为压
轴题。
1．从考点频率看，直角三角形和平行四边形与二次函数的综合是高频考点。
2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约 11 分。
几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”
等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求 几何分析 涉及公式 应用图形
跟平行有的
图形
平移
、
平行四边形 矩形
梯形
跟直角有关
的图形
勾股定理逆定理
利用相似、全等、平行、
对顶角、互余、互补等
直角三角形
直角梯形 矩形
跟线段有关
的图形
利用几何中的全等、中垂
线的性质等。
等腰三角形 全等
等腰梯形
跟角有关的
图形
利用相似、全等、平行、
对顶角、互余、互补等
1
特殊图形的存在性问题：已知两点，判断与二次函数有关的特殊三角形的第三个顶点位置时，
则可以通过做已知线段的垂线、垂直平分线，结合画辅助线来确定。若判定与二次函数有关的平行
四边形问题，可以依据平行四边形的性质，考虑已知顶点坐标的平移，轴对称或中心对称等知识求
未知点的坐标。
1．（2020 年怀化中考）如图所示，抛物线
y
＝
x
2﹣2
x
﹣3 与
x
轴相交于
A
、
B
两点，与
y
轴相交于点
C
，点
M
为抛物线的顶点．
（1）求点
C
及顶点
M
的坐标．
（2）若点
N
是第四象限内抛物线上的一个动点，连接
BN
、
CN
求△
BCN
面积的最大值及此时点
N
的坐标．
（3）若点
D
是抛物线对称轴上的动点，点
G
是抛物线上的动点，是否存在以点
B
、
C
、
D
、
G
为顶
点的四边形是平行四边形．若存在，求出点
G
的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线
CM
交
x
轴于点
E
，若点
P
是线段
EM
上的一个动点，是否存在以点
P
、
E
、
O
为顶点的三
角形与△
ABC
相似．若存在，求出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令抛物线解析式中
x
＝0 即可求出
C
点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出顶点
M
坐标；
（2）过
N
点作
x
轴的垂线交直线
BC
于
Q
点，设
N
（
n
，
n
2﹣2
n
﹣3），求出
BC
解析式，进而得到
Q
点坐标，最后根据
S
△
BCN
＝
S
△
NQC
+
S
△
NQB
即可求解；
（3）设
D
点坐标为（1，
t
），
G
点坐标为（
m
，
m
2﹣2
m
﹣3），然后分成①
DG
是对角线；②
DB
是
对角线；③
DC
是对角线时三种情况进行讨论即可求解；
（4）连接
AC
，由
CE
＝
CB
可知∠
B
＝∠
E
，求出
MC
的解析式，设
P
（
x
，﹣
x
﹣3），然后根据
2
△
PEO
相似△
ABC
，分成 和 讨论即可求解．
【解析】（1）令
y
＝
x
2﹣2
x
﹣3 中
x
＝0，此时
y
＝﹣3，
故
C
点坐标为（0，﹣3），
又∵
y
＝
x
2﹣2
x
﹣3＝（
x
﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点
M
的坐标为（1，﹣4）；
（2）过
N
点作
x
轴的垂线交直线
BC
于
Q
点，连接
BN
，
CN
，如图 1 所示：
令
y
＝
x
2﹣2
x
﹣3＝0，
解得：
x
＝3 或
x
＝﹣1，
∴
B
（3，0），
A
（﹣1，0），
设直线
BC
的解析式为：
y
＝
ax
+
b
，
代入
C
（0，﹣3），
B
（3，0）得： ，
解得 ，
∴直线
BC
的解析式为：
y
＝
x
﹣3，
设
N
点坐标为（
n
，
n
2﹣2
n
﹣3），故
Q
点坐标为（
n
，
n
﹣3），其中 0＜
n
＜3，
则
（其中
xQ
，
xC
，
xB
分别表示
Q
，
C
，
B
三点的横坐标），且
QN
＝（
n
﹣3）﹣（
n
2﹣2
n
﹣3）＝﹣
n
2+3
n
，
xB
﹣
xC
＝3，
故 ，其中 0＜
n
＜3，
当 时，
S
△
BCN
有最大值为 ，
3
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