专项03 正方形中四个常考模型（原卷版）-2022-2023学年九年级数学上册高分突破必练专题
专项 03 正方形中四个常考模型
模型一：正方形的“十字架”模型
模型二：正方形中过对角线交点的直角问题
正方形 ABCD 中，O为两条对角线的交点，点 分别在 上.若
为直角， 分别与 的延长线交于点 ，则△AOE≌△BOF，
△AOG≌△BOH，△OGH 是等腰直角三角形，且 .
模型三：正方形中的“三垂定理”模型
如图，已知正方形 ABCD，过点 B、D两点分别向过点 C的直线作垂线，
垂足分别为 E、F，则有△BCE CDF≌△
模型四：正方形半角模型
【模型一：正方形的“十字架”模型】
【典例 1】如图，ABCD 是一个正方形花园， 是它的两个门，且 .要修建两
条路 BE 和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
【探究】若去掉“ ”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结
论成立吗？
（1）若已知 ，则 成立吗？
（2）若已知 ，则 成立吗？
条件：①正方形 ABCD ，②∠ EAF=45°
结论：
①EF=BE+DF ；( CEF△的周长 =正方形 ABCD
周长的一半）
②EA 平分∠ BEF
③FA 平分∠ DAE
条件：①正方形 ABCD ；
②∠ EAF=45°
结论： EF=DF-BE
☆ ：当∠ EAF 旋转到正方形 ABCD 外部时，则
有：
【变式 1-1】如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F分别在 BC、CD 上，且 BE＝CF，求证：
AE＝BF．
【变式 1-2】如图，在正方形 ABCD 中，点 P在AD 上，且不与 A，D重合，点 H在AB 上，
且不与 A，B重合，连接 BP、CH，BP 与CH 交于点 E．
（1）若 BP＝CH，求证：BP⊥CH；
（2）在（1）的条件下，若正方形 ABCD 的边长为 12，AP＝5，求线段 BE 的长．
【变式 1-3】如图，在正方形 ABCD 中，点 E是BC 边上任意一点，连接 AE，过点 D作
DF⊥AE 交AB 于F，垂足为 G．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若点 E是BC 的中点，连接 BG，请探究线段 FG，BG，EG 之间的数量关系．
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